USACO2.3题目简析

chunlvxiong的博客

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T1：Longest Prefix

　　   题意：给你不超过200的单词，每个单词长度不超过10，你可以将这些单词拼在一起组成新的单词，给出串S（长度不超过200000），问能构成S的最长前缀长度是多少。

　　很容易想到暴力：你穷举S的每个位置i，然后穷举所有的单词，看看此单词（设该单词长度为len）能否与s[i-len+1]..s[i]，若能，且i-len这个前缀能够组成，那么该前缀也可以组成。时间复杂度O(200000*200*10)=O(4e8)-->理论上要T（实际上不会）。

　　你可以利用trie进行优化，把输入进来的字符串倒序建立一颗trie树，然后对于每个位置i，直接从i寻找到i-9，一旦发现某个位置有单词且i-(该单词长度)这个前缀能够组成，那么表明该前缀也可以组成。时间复杂度O(200000*10)=O(2e6)。

T2：nocows

　　  题意：N个点(3≤N<200)高度为K(1<k<100)的二叉树（每个节点的度只能是0或2），有几种可能情况？输出答案除以9901后的余数。

　　考虑用DP解决此题，用dp[i][j][k]表示高度为i，有j个节点，最底层有k个节点的方案数。

　　dp[i][j][k]=Σdp[i-1][j-k][x]*C(x,k/2)

　　其中C函数可以预处理好。

　　看上去这个算法时间复杂度是O(N^3*K)的。

　　但是：

　　1、层数会限制总结点数以及底层节点数(虽然这个影响不大，因为后来层数高达100)

　　2、限制条件很多，你会发现j必然是个奇数，而i>=2后k必然是个偶数，同时k<=j，对于x的限制更多：2x>=k && x<=j-k && x是个偶数。

　　所以实际复杂度远不到这个值，总时间复杂度足够了。

　　然而USACO题目的内存限制是16MB……所以开滚动来压缩空间。然后你才能A掉此题。

T3：Zero Sum

　　题意：给定一个等式1 2 3……n(3≤n≤9)，在空位置加入"+"号、"-"号，或不加符号，最后输出所有使得整个等式为0的方案（按"+","-"," "这样的字典序输出）。

　　这题没什么好说的，直接爆搜，时间复杂度O(3^n)。

T4：Money Systems

　　题意：有V种货币(V≤25)，需要用它们组成N元钱，共用几种方案？

　　容易想到DP，用dp[i][j]表示前i种货币组成j元钱的方案数，那么dp[i][j]=Σdp[i-1][j-a[i]*k]。

　　这样复杂度是O(N^2*V)的，理论上会T（实际上可以AC，而且跑的很快）。

　　受无限背包问题的启发，我们允许同维的继承，但是注意先要更新小的，再更新大的。

　　可以将状态降为一维，届时直接dp[j]+=dp[j-a[i]]即可。

　　这样做时间复杂度O(NV)，就可以顺利AC了。

T5：Controlling Companies

　　题意：如果公司A和B满足下列三个条件中的一个，那么就说A控制了B：

　　1、公司A = 公司B。

　　2、公司A拥有大于50%的公司B的股票。

　　3、公司A控制K(K >= 1)个公司，记为C1, ..., CK，每个公司Ci拥有xi%的公司B的股票，并且x1+ .... + xK > 50%。

　　给出一些N条公司之间的控制信息(N≤100)，输出所有的(A,B)表示A公司控制了B公司。公司总数不超过100。

　　很明显是个一个BFS的题目，以每个点为起点进行BFS，首先让该点入队，然后更新其他所有的点的份额，如果发现一个点被占份额超过50%，那么说明这个点已经被控制，将其入队，如此做下去即可。时间复杂度O(N^3)。