5.2 特殊矩阵的压缩存储

对称矩阵

对于一个矩阵结构显然用一个二维数组来表示是非常恰当的，但在有些情况下，比如常见的一些特殊矩阵，如三角矩阵、对称矩阵、带状矩阵、稀疏矩阵等，从节约存储空间的角度考虑，这种存储是不太合适的。下面从这一角度来考虑这些特殊矩阵的存储方法。

对称矩阵的特点是：在一个n 阶方阵中，有aij=aji ，其中1≤i , j≤n，如图5.5 所示是一个５阶对称矩阵。对称矩阵关于主对角线对称，因此只需存储上三角或下三角部分即可，比如，我们只存储下三角中的元素aij，其特点是j≤i 且1≤i≤n，对于上三角中的元素aij ，它和对应的aji 相等，因此当访问的元素在上三角时，直接去访问和它对应的下三角元素即可，这样，原来需要n*n 个存储单元，现在只需要n(n+1)/2 个存储单元了，节约了n(n-1)/2个存储单元，当n 较大时，这是可观的一部分存储资源。

如何只存储下三角部分呢？对下三角部分以行为主序顺序存储到一个向量中去，在下三角中共有n*(n+1)/2 个元素，因此，不失一般性，设存储到向量SA[n(n+1)/2]中，存储顺序可用图5.6 示意，这样，原矩阵下三角中的某一个元素aij 则具体对应一个sak，下面的问题是要找到k 与i、j 之间的关系。

对于下三角中的元素aij，其特点是：i≥j 且1≤i≤n，存储到SA 中后，根据存储原则，它前面有i-1行，共有1+2+…+i-1=i*(i-1)/2 个元素，而aij 又是它所在的行中的第j 个，所以在上面的排列顺序中，aij 是第i*(i-1)/2+j 个元素，因此它在SA 中的下标k 与i、j 的关系为：
k=i*(i-1)/2+j-1 (０≤k<n*(n+1)/2 )

若i<j，则aij 是上三角中的元素，因为aij=aji ，这样，访问上三角中的元素aij 时则去访问和它对应的下三角中的aji 即可，因此将上式中的行列下标交换就是上三角中的元素在SA 中的对应关系：
k=j*(j-1)/2+i-1 (０≤k<n*(n+1)/2 )

综上所述，对于对称矩阵中的任意元素aij，若令I=max(i,j)，J=min(i,j)，则将上面两个式子综合起来得到： k=I*(I-1)/2+J-1。

 

三角矩阵

形如图5.7 的矩阵称为三角矩阵，其中c 为某个常数。其中5.7(a)为下三角矩阵：主队角线以上均为同一个常数；(b)为上三角矩阵，主队角线以下均为同一个常数；下面讨论它们的压缩存储方法。

1. 下三角矩阵

与对称矩阵类似，不同之处在于存完下三角中的元素之后，紧接着存储对角线上方的常量，因为是同一个常数，所以存一个即可，这样一共存储了n*(n+1)+1 个元素，设存入向量：SA[n*(n+1)+1]中，这种的存储方式可节约n*(n-1)-1 个存储单元，sak 与aji 的对应关系为：

2. 上三角矩阵

 

对于上三角矩阵，存储思想与下三角类似，以行为主序顺序存储上三角部分，最后存储对角线下方的常量。对于第1 行，存储n 个元素，第2 行存储n-1 个元素，…，第p 行存储(n-p+1)个元素，aij 的前面有i-1 行，共存储：

个元素，而aij 是它所在的行中要存储的第（j-i+1）个；所以，它是上三角存储顺序中的第(i-1)*(2n-i+2)/2+(j-i+1)个，因此它在SA中的下标为：k=(i-1)*(2n-i+2)/2+j-i。综上， sak 与aji 的对应关系为：

 

带状矩阵

n 阶矩阵A 称为带状矩阵，如果存在最小正数m ，满足当∣i-j∣≥m 时，aij =0，这时称w=2n-1 为矩阵A 的带宽。如图5.10(a)是一个w=3(m=2)的带状矩阵。带状矩阵也称为对角矩阵。由图5.10(a)可看出，在这种矩阵中，所有非零元素都集中在以主对角线为中心的带状区域中，即除了主对角线和它的上下方若干条对角线的元素外，所有其他元素都为零(或同一个常数c)。

带状矩阵A 也可以采用压缩存储。

一种压缩方法是将A 压缩到一个n 行w 列的二维数组B 中，如图5.10(b)所示，当某行非零元素的个数小于带宽w 时，先存放非零元素后补零。那么aij 映射为b i′j′，映射关系为：

另一种压缩方法是将带状矩阵压缩到向量C 中去，按以行为主序，顺序的存储其非零元素，如图5.10(c)所示，按其压缩规律，找到相应的映象函数。如当w=3 时，映象函数为：k=2*i+j-3