组合数学--彭彭礼品店

题意

问题描述：

  彭彭是个既漂亮又心肠好的女孩，她经营了一家礼品店，新年快来了，她想给她认识的所有小朋友们（很多很多）送些精美的小礼物，她的店中现在有K种一样大小的礼物，当然每种礼品的数量足够多，她还有一些礼品盒子，每个盒子均能盛放N个礼物。

  彭彭想给每个小朋友不同的惊喜，因此她不允许任何两个盒子的礼品组合是相同的，但考虑到一些小朋友（如敏敏，佳芳等人）的特殊喜好，有些礼品必须在礼品盒中出现且要达到一定的数量，而另外一些淘气的小朋友，如明明，铁伟，总是喜欢礼品盒装的慢慢的，可是彭彭不想为这些有着特殊需求的小朋友单独准备礼品盒，因为礼品盒一旦被封装，她就无法分清楚那个盒子究竟应该送给谁。可是彭彭很聪明，经过一个晚上的努力思考，她终于想到了一个好办法，那就是让每个礼品盒都满足这些特殊的需求，这样她就可以把任意的盒子送给任意的小朋友了。彭彭在为自己聪明的脑袋感到骄傲的同时，又想知道她最多可以给多少个小朋友送礼物，这可难坏了她，那么现在就请你试试吧！

输入：

  对每组输入第一行先给出K（1≤K≤50）表示礼品的种类，N（1≤N≤40）表示礼品盒的最大容量；接着第二行给K个数a[k]，分别表示对于第K个物品至少应放a[k]个（0≤a[k]）。

输入以“0 0”结束。

输出：

  最多可送出的礼物盒数量，占一行。

样例输入

  4 20

  3 1 0 5

  0 0

样例输出

  364

分析

问题可以这么转化，我们开始可以处理对于每种礼品的最少数量ai，每输入一个ai，n-=ai;
那么最后问题等于问你，x1+x2+.....+xk=n,这个多元一次不定方程的非负解种类数，因为n把所以ai都减了，肯定使得每种非负解
都会满足每种礼品的最少数量，那么怎么算呢？
先看一下这个y1+y2+....+yk=n, 多元一次不定方程的正整数解的种类数，对于n可以分成n份都是1的，需要切n-1个位置，那么正整数解的种类数就是
从n-1个位置选出k-1个位置，假设我们令ai=xi+1,那么x1+x2+.....+xk=n多元一次不定方程的非负解种类数等价于
a1+a2+.....+ak=n+r的正整数解种类数，也就是从n+k-1个位置选出k-1个位置，具体看代码

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll c(int n,int m){
    if(m<n-m) m=n-m;
    ll ans=1;
    for(int i=n;i>=m+1;i--)
      ans*=i;
      for(int j=1;j<=n-m;j++)ans/=j;
      return ans;
}
int main(){
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);
	ll n,i,k,a,h;
	while(cin>>n>>k){
		
		for(i=0;i<k;i++)
		{
			cin>>a;
			n-=a;
		}
		cout<<c(n+k-1,k-1)<<endl;
	}
	return 0; 
}