扩展欧几里得算法

基本概念

来自百度百科，
求解 x，y的方法的理解
设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，a>b>0 时
设 ax1+ by1= gcd(a,b);
bx2+ (a mod b)y2= gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b);
则:ax1+ by1= bx2+ (a mod b)y2;
即:ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2;
说明： a-[a/b]*b即为mod运算。[a/b]代表取小于a/b的最大整数。
也就是ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2);
根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

实际上ax+by = gcd(a, b) =d，只要某个数是d的整数倍都存在整数解

实现代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll xx,yy;
ll extgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return a;
	}
	ll d=extgcd(b,a%b,y,x);
	y-=x*(a/b);
	return d;
} 
int main(){
	ll a,b;
	while(cin>>a>>b){
		cout<<extgcd(a,b,xx,yy)<<endl;
		cout<<xx<<' '<<yy<<endl;
	}
	return 0;
}