欧拉函数
一些定义
欧拉函数是少于或等于n的数中与n互质的数的数目。
欧拉函数的性质:它在整数n上的值等于对n进行素因子分解后,所有的素数幂上的欧拉函数之积。
欧拉函数的值 通式:φ(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/p4)…..(1-1/pn),其中p1, p2……pn为x的所有质因数,x是不为0的整数。
例如:φ(1)=1(唯一和1互质的数(小于等于1)就是1本身)。 (注意:每种质因数只一个。(即p不能重复)比如12=223那么φ(12)=12(1-1/2)(1-1/3))=4
推论:当n为奇数时,有φ(2n)=φ(n)。
若n是质数p的k次幂,φ(n)=p^k-p^(k-1)=(p-1)p^(k-1),因为除了p的倍数外,其他数都跟n互质。
设n为正整数,以 φ(n)表示不超过n且与n互素的正整数的个数,称为n的欧拉函数值,这里函数φ:N→N,n→φ(n)称为欧拉函数。
欧拉函数是积性函数——若m,n互质,φ(mn)=φ(m)φ(n)。
特殊性质:当n为奇数时,φ(2n)=φ(n), 证明与上述类似。
代码实现
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define ll long long
int euler(int n){
int a=n;
for(int i=2;i*i<=n;i++){
if(n%i==0) {
a=a-a/i;
while(n%i==0) n/=i;
}
}
if(n>1) a=a-a/n;//当n本身是质数的时候
return a;
}
int main(){
int n;
while(cin>>n){
cout<<euler(n)<<endl;
}
return 0;
}