三种基本博弈结论

1.巴什博奕：

1、  本游戏是一个二人游戏;
2、  有一堆石子一共有n个；
3、  两人轮流进行取石子;
4、  每走一步可以取走1到m个石子（至少1个，最多m个）；
5、  最先取光石子的一方为胜。

当n=m+1时，无论怎么取，先手都是必败。

所以当n=p*（m+1）时，无论先手取几个，对手取的个数只要和自己取的个数加起来等于m+1，先手就会必败，此时为先手必败态。

当n=p*（m+1）+q时先手只要取走q个，对手就会陷入必败态，此时先手必胜。

例题：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1846

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e5+7;
const ll mod=1e9+7;
ll t,n,m;
int main()
{
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        int f=0;
        cin>>n>>m;
        if(n%(m+1)==0)f=0;
        else f=1;

        if(f)cout<<"first"<<endl;
        else cout<<"second"<<endl;
        
    }
}

2.威佐夫博奕：

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者

用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)( a[k] 其中 k 为下标 )表示两堆物品的数量并称其为局势。

如果面对（0，0），此时做选择的人已经输了，这种局势定义为奇异局势。

前几个奇异局势：

（0，0）

（1，2）

（3，5）

（4，7）

（6，10）

（8，13）

（9，15）

（11，18）

（12，20）

规律：(b[k]-a[k])为首项为0，公差为1的等差数列。

即a[0]=0,b[k]=a[k]+k;

a[k]是未在前面出现过的最小自然数.

当a<b时先手必败态可总结为a==(int)((b-a)*(1.0+sqrt(5))/2).

例题：http://poj.org/problem?id=1067

代码：

#include<iostream>
#include<math.h>
using namespace std;
int a,b;
int t;
int main()
{
    while(cin>>a>>b)
    {
        if(a>=b)swap(a,b);
        int temp=(b-a)*(1.0+sqrt(5.0))/2.0;
        if(a==temp)cout<<"0"<<endl;
        else cout<<"1"<<endl;
    }
}

3.尼姆博弈

有任意堆各若干个物品，两个人轮流从任意一堆取任意多的物品，规定每次至少取1个，最后取光者得胜。

若有k堆物品，每堆含a[i]个（i=1,2...k)

设temp=a[1]^a[2]^a[3]^...^a[k];(^表示异或）

先手必败态：temp==0.