最大子数组问题(求连续子数组的最大和)

在<算法导论>第四章分治策略(Divider and Conquer)4.1节提出了最大子数组问题。其转化就是求数组a={1, -2, 3, 10, -4, 7 , 2, -5}中连续子数组的最大和。

对于这个问题，很容想到一种暴力求解的方法：简单地尝试对所有可能的的组合进行求和。对数组为n存在n*(n-1)/2中组合，然后对每个组合进行求和。即三个for循环遍历，求出数组中每一个子数组的和，最终求出这些子数组的最大的一个值。记Sum[i,...,j]为数组a中第i个元素到第j个元素的和(其中0<=i<=j<n)，遍历所有可能的Sum[i,...,j],那么时间复杂度(最大运行时间running Time)为Ο(n^3)。

package algorithms;

/**
 * @author public
 *本段代码参考编程之美
 */
public class MaxSubarraySum {
    
    static int[] a = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};
    static int sum;
    static int maxSum = 0;
    public static void main(String[] args) {
        // TODO Auto-generated method stub
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {
            for (int j = i; j < a.length; j++) {
                for (int k = i; k <= j; k++) {
                    sum += a[k];
                }
                if (sum > maxSum) {
                    maxSum = sum;                    
                }
                sum = 0;//无论是sum>maxSum还是sum<=maxSum都要对sum进行清零操作
            }
        }
        
        System.out.println("maxSum="+maxSum);
        
    }

}

运行结果：

maxSum=18 

在算法导论4.1-5习题提到如下思想：最大字数组问题设计一个非递归的、线性时间的算法。从数组的左边界开始，由左到右处理，记录到目前为止已经处理过的最大字数组。若已知a[1,...,j]的最大子数组，基于如下性质将解扩展为a[1,...,j+1]的最大子数组：a[1,...,j+1]的最大子数组要么是a[1,...,j]的最大子数组，要么是某个子数组a[i,...,j+1](1≤i≤j+1)。在已知a[1,...,j]的最大子数组的情况下，可以在线性时间内找出形如a[i,...,j+1]的最大子数组。

实现方法：

package algorithms;

public class FindMaxSubarray {
    
    static int[] array = {1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5};

    public static void main(String[] args) {
        MaxSum(array);
    }

    private static void MaxSum(int[] arraytmp) {
        // TODO Auto-generated method stub
        if (arraytmp==null) {
            return;
        }
        
        int curSum = 0, maxSum = 0;
        
        int indexStart = 0, indexEnd = 0;    //初始化字数组最大和下标
        
        for (int j = 0; j < arraytmp.length; j++) {
            curSum += arraytmp[j];//累加
            
            if (curSum < 0) {  //当前和小于0，重置为0
                curSum = 0;
                indexStart = j+1;//调整字数组最大和的开始下标
            }
            
            if (curSum > maxSum) {    //当前和大于最大和，则重置最大和
                maxSum = curSum;
                indexEnd = j;    //调整字数组最大和的结束下标
            }
            
        }
        
        if (maxSum == 0) {        //最大和依然为0，说明数组中所有元素都为负值
            maxSum = arraytmp[0];
            indexStart = indexEnd = 0;        //初始化子数组最大和下标
            for (int j = 0; j < arraytmp.length; j++) {
                if (arraytmp[j] > maxSum) {
                    maxSum =arraytmp[j];
                    indexEnd = indexStart = j;//调整子数组最大和下标
                }
            }
        }
        
        for (int i = indexStart; i <= indexEnd; i++) {
            System.out.print(arraytmp[i]+" ");//输出最大和的子数组
        }
        System.out.println();
        System.out.println("maxSum="+maxSum);//输出子数组最大和
    }

}

运行结果：

3 10 -4 7 2 
maxSum=18