第六章节 优先队列/堆
一般发送到打印机的作业 放到队列中，但这并不一定是最好的做法 ，比如可能有一个作业很重要，可以先打印，这个时候，就可以用到优先队列。
另外，短的作业一般应该首先完成 ，因此，在运行的程序中，短的作业有更高的优先权。
一、模型
优先队列一定要有的两个操作：insert ，deleteMin(找到并删除最小的).
其中，insert相当于队列中的enqueue, deleteMin类似于队列中的dequeue.
二、一些简单的实现
有几种简单的办法可以实现
- 使用简单的链表
在表头以O(1)进行插入，遍历以O(N)删除最小的.或者使链表保存有序的状态，则insert 要O(N), 而deleteMin要O(1).
- 使用二权查找树
deleteMin/ insert复杂度都是 O(logN).但是使用插找树有些过份了，因为它还支持很多别的工作，此外，在删除的最坏的情况下，会有失去平衡等问题。
- 二叉堆
不需要用到链，支持最坏的情形时O(logN),且插入操作平均用时为常数时间。
三、二叉堆
对于优先队列的实现时，使用的很普遍。和二叉查找树一样，堆也有两个性质，结构性与堆序性。对堆的操作可能破坏其中的一个，因此，堆 的操作一定要
到堆的所有性质都满足才终止。
- 性质结构
堆是一个完全填满的二叉树。一个完全二叉树可以用数组表示。对一个位置i的元素，左儿子在2i,右儿子在2i+1.父亲在i/2取整数。因此我们不用使用链，而且遍历很简单。唯一的问题是
要先估计大小 。
一个堆结构由一个comparable对象数组与一个代表当前堆大小的整数组成。如下，是一个堆
package c6;
public class BinaryHeap<AnyType extends Comparable<? super AnyType>> {
private static final int DEFAULT_CAP=10 ;
private int currentSize ;
private AnyType [] array ;
public BinaryHeap(){
}
public BinaryHeap(int cap){
}
public BinaryHeap(AnyType [] items){
currentSize = items.length ;
array = (AnyType [])new Comparable[(currentSize+2)*11/10];
int i=1;
for (AnyType item : items){
array[i++] = item ;
}
buildHeap() ;
}
/**
* 平均2.6,也就是O(1)，最坏insert最小的元素时发生，O(lgN)
* @param x
*/
public void insert(AnyType x ){
if (currentSize== array.length-1)
enlargeArray(array.length*2+1) ;
//percolate up
int hole = ++ currentSize ;
for(; hole>1 && x.compareTo(array[hole/2])<0;hole/=2){
array[hole] = array[hole/2] ;
}
array[hole] =x ;
}
public AnyType findMin() throws Exception{
if (isEmpty())
throw new Exception() ;
return array[1] ;//array[0]没有用?
}
/**
* O(lgN)--最坏和平均都是,因为要percolateDown
* @return
* @throws Exception
*/
public AnyType deleteMin() throws Exception{
if (isEmpty())
throw new Exception();
AnyType minIten = findMin();
//将array[currentSize]移动到空穴，再将currentSize-1
array[1] = array[currentSize--] ;
percolateDown(1) ;
return minIten ;
}
public boolean isEmpty(){
return currentSize==0 ;//?是否有问题
}
public void makeEmpty(){
}
/**
* 删除的时候用到
* @param hole 空穴，这里是用的堆最后的一个元素
*/
private void percolateDown(int hole){
int child ;
AnyType temp = array[hole] ;
for (;2*hole<= currentSize;hole = child){
child = 2*hole;
//有两儿子时(child!=currentSize)，先出两个小的一个
if (child!= currentSize && array[child+1].compareTo(array[child])<0){
child++ ;
}
//空穴往下滤
if (array[child].compareTo(temp)<0){
array[hole] = array[child] ;
}else {
break ;
}
}
array[hole] = temp ;
}
/**
* O(N)，这个操作从下而上，不能反
*/
private void buildHeap(){
for (int i= currentSize/2 ;i>0;i--){
percolateDown(i);
}
}
private void enlargeArray(int newSize){
}
}
- 堆性质
一个堆中，对于每一个节点X, X的父亲的关键字小于或者等于X中的关键字。因此，最小的元素就在根处。
堆的基本操作
insert
在下一个可用的位置放一个空穴：
如果 X可以放在这个空穴中，则完成。
如果不可，将空穴的父节点放到 空穴中，这样空穴就上移，直到X能放入空穴为止。
这种操作是上滤。新的元素在堆中上滤直到找到正确的位置。
如果插入的是最小元素，则要上滤到根处，将用时O(logN)，平均来看，性能好很多，插入一次只要2.6次比较。性能好很多。
deleteMin
找到最小元素是简单的，但是删除比较复杂。
当删除一个最小元素时，根处出现 一个空穴，由于现在堆少了一个元素，因此堆中的最后一个元素X要移动到一个地方。
如果X可以直接放到空穴中，删除完成 。
如果不可以，将空穴的两儿子中小的移动到空穴，这样空穴下滤一层，重复上过程直到X可放到空穴中。
因此 ，做法就是将X放到沿着根开始，有最小儿子的一条路径 上的一个正确 的路径上。
对于一个节点如果只有一个儿子，我们要进行附加的测试，
这种操作的最坏情况运行时间为O(logN),平均来说，也是O(logN).
其它操作
事实上一个堆所蕴含的有序信息很少，如果不对整个堆进行线性搜索，是没有办法找到任何特定的关键字的。
buildHeap操作
可以将N个元素insert到一个空堆中，每一个insert将花费O（1）的平均时间和O(logN)的最坏时间，因此整个过和将花费O(N)平均时间，而不是O(NlogN)最坏时间。这是一种特殊的指令，没有
别的操作干扰。
一般的算法 是将N项以任意的顺序放到树中，保持结构特性，然后再percolatedown (i)，以构造一个堆序的树。
四、优先队列的使用
选择问题
从N个元素中找出第k个最大的元素。下面给出两个在 k=N/2时，最坏以O(NlogN)运行的算法 。
算法1
只考虑找到第k个最小的元素，将N个元素读入数组，进行buildHeap算法 ，最后，进行k次deleteMin，得到结果。使用的时间为
O(N+k*logN)。如果 k很大，则为O(klogN),如果 k=N/2则为O(NlogN).如k=N，则相当于给N个元素进行了排序。
算法2
我们维持一个大小为k的堆，根元素就是这个小集合中最小的，再读入一个新的元素，与根进行比较。（略）。
除了不能进行find操作，堆最大的缺点是将两个堆合并是一个很困难的操作。下面讨论几个可以支持以O(NlogN)的时间进行merge的数据结构。
