求两个字符串的不连续的公共字串

无论题目怎么样，始终有一个宗旨，那就是一步一步接近结果，最后你会发现一个最终最优化的解题思路，如果你直接看最优解题思路，会比较突兀，理解起来不是很好，一步一步想，会感觉水到渠成，最后你会发现任何已有的算法都基于一个很朴素的想法。

问题描述

给定两个字符串，求出字符串中最长匹配的公共字符串，而且可以不用相连，比如"abcdef"和"abfce"，我们可以找到“abce”是最长的公共字符串

问题分解

其实上述的问题，可以分解成两个子问题

（1）首先，找出相连的公共子字符串，比如"abcdef"和"abfce"，结果就是"ab"

（2）其次，再考虑这个问题，即不相连的公共字符串

对第一个子问题的分析

 一拿到这个问题，最暴力的方法就是穷举，再一一比较字符串。

再想想，我们就可以发现字符串的比较，其实就是比较字符。为了避免重复的比较，我们用一个二维数组记录之前的比较结果。

下面以"abfcd", "abcdef"为例，加以说明。

[ab, ab]而言，对于的是2，也就是说最长公共字串是2.

[abf, ab]而言，在3*2的矩阵中，最大的数字也是2，那就意味着最长公共长度也是2.

比较字符是否相同，若两字符相同，则对于的数字是斜对角的数字加一。

至于结果的打印，我们可以通过记录下最大的长度，再找出所有最大的长度，就可以打印所有的结果了。

这样就把穷举简化成时间复杂度为o（n*m）的问题，其实这就是动态规划，其本质就是用空间记录之前的比较结果，以此来达到优化时间复杂度的目的。

该算法空间负责度为o（n*m），我们还可以进行再一步优化为o（n）的时间复杂度，其思路跟背包问题相似，至于是逆序，顺序都可以，但是为了打印所有结果的话，必须得用逆序实现。

//find the successive common substring
#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100
int a[N + 5][N + 5];
char s1[N + 5] = "abfcd";
char s2[N + 5] = "abcdef";
void main()
{
    int i, j, k, len1, len2, max, count;
    //---------------o(n * n)
    max = 0;
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
            {
                a[i + 1][j + 1] = a[i][j] + 1;
                if (max < a[i + 1][j + 1])
                    max = a[i + 1][j + 1];
            }
            else
            {
                a[i + 1][j + 1] = 0;
            }
        }
    }
    //--------for check
    /**/
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            printf("%d ", a[i + 1][j + 1]);
        }
        puts("");
    }
    
    //----------print the result
    count = 0;
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            if (a[i + 1][j + 1] == max)
            {
                for (k = i - max + 1; k <= i; k++)
                    printf("%c", s1[k]);
                count++;
                puts("");
            }
            
        }
    }
    printf("total : %d\n", count);
    system("pause");
}

 对第二个子问题的分析

了解了第一问的解题思路，稍加修改，就可以解决第二问的问题。

我们第一问是若相同则斜对角加一，若不同，则置为0，这里是若相同，则斜对角加一，若不同则取反斜对角中较大的数。

我们可以这么理解，f(n, m)表示的是长度为n和长度为m的字符串的公共字串的长度，则if str1[n] == str2[m], f(n, m) = f(n - 1, m - 1) + 1; if str1[n] != str2[m], f(n, m) = max(f(n - 1, m), f(n, m - 1))

好了，那接下来的问题就是如何打印的问题，仅仅是以上的数字，我们发现要想打印还得花一些功夫。所以，我们在上面的运算过程中，还记录了另一个数据，就是方向，就是说当前这个值时从斜对角来的，dir就是1；若是从左边来的，dir就是2；若是从上面来的，dir就是3。有了这个之后，打印就轻而易举了。

 

#include <stdio.h>
#include <iostream>
using namespace std;
#define N 100
struct
{
    int len;
    int dir;
}a[N + 5][N + 5];
char s1[N + 5] = "cdbef";
char s2[N + 5] = "abcdef";
char res[N + 5];
void main()
{
    int i, j, k, len1, len2, count;    
    //---------------o(n * n)
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            if (s1[i] == s2[j])
            {
                a[i + 1][j + 1].len = a[i][j].len + 1;
                a[i + 1][j + 1].dir = 1;
            }
            else
            {
                if (a[i][j + 1].len > a[i + 1][j].len)
                {
                    a[i + 1][j + 1].len = a[i][j + 1].len;
                    a[i + 1][j + 1].dir = 3;
                }
                else
                {
                    a[i + 1][j + 1].len = a[i + 1][j].len;
                    a[i + 1][j + 1].dir = 2;
                }
            }
        }
    }
    //--------for check
    /**/
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            printf("%d ", a[i + 1][j + 1].len);
        }
        puts("");
    }
    puts("");
    for (i = 0; s1[i] != '\0'; i++)
    {
        for (j = 0; s2[j] != '\0'; j++)
        {
            printf("%d ", a[i + 1][j + 1].dir);
        }
        puts("");
    }
    
    //----------print the result
    len1 = i;
    len2 = j;
    int len = a[len1][len2].len;
    for (k = len - 1; k >= 0;)
    {
        if (a[i][j].dir == 1)
        {
            res[k] = s1[i - 1];
            k--;
            i--;
            j--;
        }
        else if (a[i][j].dir == 2)
        {
            j--;
        }
        else if (a[i][j].dir == 3)
        {
            i--;
        }
    }

    for (k = 0; k < len; k++)
    {
        printf("%c", res[k]);
    }
    puts("");
    system("pause");
}