详解二进制补码
过去学计算机组成原理时一直没有搞明白补码的意义,今天听了王红老师的数字电子基础课才了解到,惭愧!
数制和码制
在正文开始之前,首先要明确两个概念,就是数制和码制,
比如下面这个数字:
100832
他可能代表的是整型值十万零八百三十二,这就是数制;但如果它代表的是邮政编码,这就是码制;
二进制补码
带符号二进制的运算依赖于补码,如
+5: 0 0101
-5: 1 0101
最高位为0则为正,为1则为负。正常来讲我们将其相加应该是0,但实际上:
00101
+10101
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11010
直接相加得到的结果并不是我们想要的,这是因为哦这样想加混淆了数制和码制,最高位的0和1并不和地位一样代表着数值,所以和它们一起直接计算必然就会出错。
所以带符号的二进制数的计算依赖于补码,补码的表示如下:
+5: 0 0101
-5: 1 1011
这里有几个要解释和注意的点:
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补码和原码的转换规则:正数补码和原码相同,负数的补码为原码的数值位取反加一、符号位不变
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补码的计算:
如-5的补码为 11011,即\(-2^{4}+2^3+2^1+2^0=-16+8+2+1=-5\),即符号位代表了一个很大的负数值,足以纠正数制位的正数值。从这里也能理解为什么n位二进制补码可以表达的范围为\(-2^{n-1}...2^{n-1}-1\)
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负数的补码需要添位时直接往高位添1即可
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符号位的处理:最终的符号位就是两者符号位相加再加上上来的进位
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考虑到结果的位数,要清楚的知道最后的范围是多少,否则就会出错。考虑5位补码运算13+10:
0 1101 0 1010 ------- 1 0111=-7