详解二进制补码

过去学计算机组成原理时一直没有搞明白补码的意义，今天听了王红老师的数字电子基础课才了解到，惭愧！

数制和码制

在正文开始之前，首先要明确两个概念，就是数制和码制，

比如下面这个数字：

100832

他可能代表的是整型值十万零八百三十二，这就是数制；但如果它代表的是邮政编码，这就是码制；

二进制补码

带符号二进制的运算依赖于补码，如

+5: 0 0101
-5: 1 0101

最高位为0则为正，为1则为负。正常来讲我们将其相加应该是0，但实际上：

  00101
 +10101
 ------
  11010

直接相加得到的结果并不是我们想要的，这是因为哦这样想加混淆了数制和码制，最高位的0和1并不和地位一样代表着数值，所以和它们一起直接计算必然就会出错。

所以带符号的二进制数的计算依赖于补码，补码的表示如下：

+5: 0 0101
-5: 1 1011

这里有几个要解释和注意的点：

• 补码和原码的转换规则：正数补码和原码相同，负数的补码为原码的数值位取反加一、符号位不变

• 补码的计算：

  如-5的补码为 11011，即\(-2^{4}+2^3+2^1+2^0=-16+8+2+1=-5\)，即符号位代表了一个很大的负数值，足以纠正数制位的正数值。从这里也能理解为什么n位二进制补码可以表达的范围为\(-2^{n-1}...2^{n-1}-1\)

• 负数的补码需要添位时直接往高位添1即可

• 符号位的处理：最终的符号位就是两者符号位相加再加上上来的进位

• 考虑到结果的位数，要清楚的知道最后的范围是多少，否则就会出错。考虑5位补码运算13+10：

  0 1101
  0 1010
  -------
  1 0111=-7