数论学习笔记(二)

数论学习笔记(二)

本文主要讲解狄利克雷卷积，莫比乌斯反演与杜教筛的基础。

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一、狄利克雷卷积

定义：

\[t=f*g \]

\[\boldsymbol{t(n)=\sum_{i|n}f(i)g(\frac{i}{n})} \]

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性质：

1.交换律：

\[\boldsymbol{f*g=g*f} \]

证明：

\[\sum_{i|n}f(i)g(\frac{n}{i})=\sum_{i|n}g(i)f(\frac{n}{i})=\sum_{i|n}g(\frac{n}{i})f(i) \]

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2.结合律：

\[\boldsymbol{(f*g)*h=f*(g*h)} \]

证明：

\[\text{左右两式均 =}\sum_{i*j*k=n}f(i)g(j)h(k) \]

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3.分配律：

\[\boldsymbol{(f+g)*h=f*h+g*h} \]

证明：

\[\text{右式}=\sum_{i|n}f(i)h(\frac{n}{i})+\sum_{i|n}g(i)h(\frac{n}{i}) \]

\[=\sum_{i|n}h(\frac{n}{i})[f(i)+g(i)] \]

\[\text{即}(f+g)*h \]

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\[\boldsymbol{(xf)*g=x(f*g)} \]

证明：

\[\sum_{i|n}^{}xf(i)g(\frac{n}{i})=x\sum_{i|n}^{}f(i)g(\frac{n}{i}) \]

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5.单位元

\[\varepsilon *f=f \]

证明：

\[∵\varepsilon (n)=[n=1] \]

\[∴\varepsilon *f=\sum_{i|n}^{}\varepsilon (i)f(\frac{n}{i})=f(n) \]

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二、积性函数

\[\boldsymbol{f(nm)=f(n)f(m)\quad (n\perp m)} \]

如果没有\((n\perp m)\)的条件，就是完全积性函数。

常见积性函数：

\(\text{完全积性函数}\begin{cases}\varepsilon (n)=[n=1] & \\ id(n)=n & \\ id^{k}=n^{k} & \end{cases}\)

\(\text{积性函数}\begin{cases}d(n)->n\text{的因数和} & \\ \sigma (n)->n\text{的因数个数} & \\ \varphi (n)->\text{小于n的数中与n互质的数的个数} & \end{cases}\)

两个积性函数的卷积也是积性函数

证明：

若\(f\)和\(g\)均是积性函数，且\(n\perp m\)

\(t(nm)\)

\(= \sum_{i|nm} f(i)g(\frac{nm}{i})\)

\(= \sum_{a|n,b|m} f(ab)g(\frac{nm}{i})\)

\(= \sum_{a|n,b|m} f(a)g(\frac{n}{a})f(b)g(\frac{m}{b})\)

\(= (\sum_{a|n}f(a)(\frac{n}{a}))(\sum_{b|m}f(b)g(\frac{m}{b}))\)

\(= t(n)t(m)\)

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莫比乌斯反演

若\(f=1*g\)，则\(g=\mu*f\)。

即\(f(n)=\sum_{d|n}g(d)\)，则\(g(n)=\sum_{d|n}\mu(d)f(\frac{n}{d})\)。

证明：

∵ \(f=1*g\)

∴ \(\mu*f=\mu*1*g\)

又 \(\mu*1=\varepsilon\)

∴ \(\mu*f=\varepsilon*g=g\)，即\(g=\mu*f\)

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性质：

\[1.\sum_{d|n}\mu(d)=[n==1] \]

即：\(\quad \varepsilon=\mu*1\)

\[2.\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\varphi(n)}{n} \]

证明：由\(\varphi=\mu*id\)得：

\(\varphi(n)=\sum_{d|n}\mu(d)*(\frac{n}{d})\)

\(\quad \quad \;=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}·n\)

∴ \(\frac{\varphi(n)}{n}=\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}\)

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如何求\(\mu\)？

1.由于1是积性函数，所以\(\mu\)也是积性的。(\(\mu=1*\varepsilon\))

\[\mu(n)=\begin{cases}(-1)^{t}\quad \quad n=p1·p2·...·pt\\0\quad \quad \quad \;\;\; n\text{有平方因子}\end{cases} \]

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常见积性函数卷积：

\[\mu*1=\varepsilon \]

已知：\(\sum_{d|n}\mu(d)\)等价于\([n==1]\)

所以：\(1*\mu=\sum_{d|n}\mu(d)·(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}\mu(d)\)

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\[1*1=d \]

\(\sum_{d|n}1(d)·1(\frac{n}{d})=\sum_{d|n}1=d\)

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\[1*\varphi=id \]

即\(n=\sum_{d|n}\varphi(d)\)

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\[\mu*id=\varphi \]

\(id=1*\varphi\)

根据反演可得：\(\varphi=\mu*id\)

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\[\sigma =id*1 \]

显然。

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\[\boldsymbol{To \;\;Be\;\;Continued.} \]