裴蜀定理

裴蜀定理是什么呢？

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裴蜀（贝祖）定理，就是关于x, y的不定方程 ax + by = c ( x,y∈Z )有整数解的充要条件是gcd(a,b) | c

 

证明：

　　首先，

　　∵ gcd(a,b) | a，gcd(a,b) | b

　　又 x,y ∈ Z，

　　∴ gcd(a,b) | ax, gcd(a,b) | by

　　　gcd(a,b) | ax + by

　　∴ ax + by = k * gcd(a,b) ,k∈N*

　　∴ 原不定方程可化为 k * gcd (a,b) = c ,k∈N*

　　又 k∈N*,gcd(a,b)∈Z,c∈Z

　　∴ gcd(a,b) | c。

　　∴ ax+by = c 的最小整数解就是 gcd(a,b).

看一下这道模板.

给出n个数(A1...An)现求一组整数序列(X1...Xn)使得S=A1X1+...AnXn>0,且S的值最小

显然如果根据裴蜀定理，A1X1+A2X2的minnum = gcd(A1,A2)。

同理推广一下，也就是所有数的gcd。

注意一下有负数的时候把负数转换成正数再取gcd。