【算法】快速幂与矩阵快速幂
【快速幂】O(logn)时间复杂度
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; int qpow(int base, int n){ int ans = 1; while(n){ if(n&1) ans*=base; base = base * base; n/=2; } return ans; } int main(){ cout << qpow(2,1) << endl; cout << qpow(2,2) << endl; cout << qpow(2,10) << endl; return 0; }
【矩阵快速幂】
该算法只适用于方阵
设 A 为方阵 , 快速求 A n 的算法
【应用】求递推式的第n项,例如
斐波那契 递推公式 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
可以转换成以下矩阵运算:
由上述递推式我们可以求出矩阵
因此原本求 f(1000) 需要递推1000次,时间复杂度为O(n)
用矩阵快速幂,求f(1000, 999) = f(2, 1) * A998 设方阵阶数为m,矩阵相乘时间复杂度为 O(m3),矩阵快速幂为O(logn)
则计算8*log2998 < 1000
【模板】
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/* 矩阵快速幂模板 by chsobin */ #include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 2; const int mod = 10000; //矩阵结构体 struct Matrix{ int a[maxn][maxn]; void init(){ //初始化为单位矩阵 memset(a, 0, sizeof(a)); for(int i=0;i<maxn;++i){ a[i][i] = 1; } } }; //矩阵乘法 Matrix mul(Matrix a, Matrix b){ Matrix ans; for(int i=0;i<maxn;++i){ for(int j=0;j<maxn;++j){ ans.a[i][j] = 0; for(int k=0;k<maxn;++k){ ans.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j]; ans.a[i][j] %= mod; } } } return ans; } //矩阵快速幂 Matrix qpow(Matrix a, int n){ Matrix ans; ans.init(); while(n){ if(n&1) ans = mul(ans, a); a = mul(a, a); n /= 2; } return ans; } void output(Matrix a){ for(int i=0;i<maxn;++i){ for(int j=0;j<maxn;++j){ cout << a.a[i][j] << " "; } cout << endl; } } int main(){ Matrix a; a.a[0][0] = 1; a.a[0][1] = 1; a.a[1][0] = 1; a.a[1][1] = 0; Matrix ans = qpow(a, 10); cout << "a = "; output(ans); cout << "f(12) = [f(2), f(1)] = [1, 1] * a^10 = " << ans.a[0][0] + ans.a[1][0]; cout << endl; cout << "斐波那契:" << endl; int aa=1, bb=1; int temp; cout << "f(1) = 1" << endl; cout << "f(2) = 1" << endl; int num = 3; while(bb<200){ temp = bb; bb = aa + bb; aa = temp; cout << "f(" << num << ") = " << bb << endl; ++num; } return 0; }
【例题】
hdu 1575 模板题
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1575