Matlab数学建模学习笔记——非线性规划

目录

• 非线性规划
  • 非线性规划的matlab解法
    • fmincon函数
    • fminsearch函数（求极小值）
    • 计算函数的零点和方程组的解
      • 法一
      • 法二
      • 法三
  • 约束极值问题
    • 二次规划
    • 罚函数法
      • 外罚函数法
    • matlab求约束极值问题
      • fminbnd函数
      • fseminf函数
      • fminimax函数

非线性规划

非线性规划的matlab解法

fmincon函数

x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
% x0是x的初始值，fun是用M文件定义的函数f(x)，nonlcon是M文件定义的非线性向量函数c(x),ceq(x);options定义了优化参数，可以用Matlab默认的参数设置
x = fmincon(problem)
[x,fval] = fmincon(___)
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(___)
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(___)

e.g

\[\min f(x)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+8,\\ s.t.= \begin{cases} x_1^2-x_2+x_3^2 \geq 0,\\ x_1+x_2^2+x_3^3 \leq 20,\\ -x_1-x_2^2+2=0,\\ x_2+2x_3^2=3,\\ x_1,x_2,x_3 \geq 0 。 \end{cases} \]

对于这道题，我们需要编写三个m文件

% filename :'fun1.m'
function f = fun1(x)
f = sum(x.^2)+8;

% filename :'fun2.m'
function [g,h] = fun2(x)
g = [-x(1)^2+x(2)-x(3)^2
    x(1)+x(2)^2+x(3)^3-20]; % 非线性不等式约束
h = [-x(1)-x(2)^2+2
    x(2)+2*x(3)^2-3]; % 非线性等式约束

% filename :'main.m'
clear;
clc;
[x,y]=fmincon('fun1',rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],'fun2');

求得当x1=0.5522, x2=1.2033, x3=0.9478时，最小值y=10.6511

fminsearch函数（求极小值）

\[f(x)=sin(x)+3 \]

例如我们要求\(f(x)\)取得极小值时x的值，代码如下

% filename :'fun.m'
function f = fun(x);
f = sin(x) +3;

% filename :'main.m'
x0 = 2;
[x,y] = fminsearch(@ fun,x0)

计算函数的零点和方程组的解

\[求多项式f(x)=x^3-x^2+2x-3的零点 \]

法一

clear;
clc;
xishu = [1,-1,2,-3];
x = roots(xishu);

x =

  -0.1378 + 1.5273i
  -0.1378 - 1.5273i
   1.2757 + 0.0000i

法二

clear;
clc;
syms x
x0 = solve(x^3-x^2+2*x-3);%求函数零点的符号解
x0 = vpa(x0,5); % 化成小数格式的数据，5为有效数字

法三

clear;
clc;
y = @(x)x^3-x^2+2*x-3;
x = fsolve(y,rand);% 只能求给定初始值附近的一个零点

约束极值问题

二次规划

H为实对称矩阵

求解命令

x = quadprog(H,f)
x = quadprog(H,f,A,b)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
x = quadprog(problem)
[x,fval] = quadprog(___)
[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___)
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___)

罚函数法

利用罚函数法，可将非线性规划规划问题的求解，转化为求解一系列无约束极值问题，也可称这种方法为序列无约束最小化技术

思想是利用题目中的约束函数做出适当的罚函数，由此构造出带参数的增广目标函数，把问题转化成无约束非线性规划问题。主要有两种形式，一种叫外罚函数法，另一种叫内罚函数法

外罚函数法

\[\min f(x),\\ s.t. \begin{cases} g_i(x) \leq 0,& i=1,\dots,r,\\ h_j(x) \geq0, & j =1,\dots,s,\\ k_m(x)=0, &m=1,\dots,t \end{cases} \]

取一个充分大的数M>0，构造函数

\[P(x,M)=f(x)+M\sum_{i=1}^r \max (g_i(x),0)-M\sum_{j=1}^s \min (h_j(x),0)+M\sum_{m=1}^t |k_m(x)| \]

在matlab中可以直接利用max,min,sun函数

注意：如果非线性规划问题要求实时算法，则可以使用罚函数的方法，但是计算精度较低。

matlab求约束极值问题

Matlab中用于求解约束最优化问题的函数有

fminbnd、fmincon、quadprog、fseminf、fminimax

fminbnd函数

求单变量非线性函数在区间上的极小值

\[\min _x f(x),x\in[x_1,x_2] \]

[x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2,options)

返回值是极小点x和函数的极小值。fun是用M文件定义的函数、匿名函数或Matlab中的单变量数学函数

fseminf函数

求

\[\min f(x),\\ s.t. \begin{cases} A \cdot x \leq b,\\ Aeq \cdot x =beq,\\ lb \leq x \leq ub,\\ c(x) \leq 0,\\ ceq(x)\leq 0,\\ K_i(x,\omega_i) \leq 0,1 \leq i \leq n \end{cases} \]

c(x), ceq(x)为向量函数；K_i(x, \(\omega_i\))为标量函数，\(\omega_1,\dots,\omega_n\)为附加的便令

Matlab命令格式为

[x,fval]=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

fminimax函数

求解

\[\min _x \max _i F_i(x),\\ s.t. \begin{cases} A \cdot x \leq b,\\ Aeq \cdot x =beq,\\ c(x) \leq 0,\\ ceq(x) = 0,\\ lb \leq x \leq ub,\\ \end{cases} \]

matlab命令为

[x,fval]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)