李宏毅机器学习课程笔记-5.3神经网络中的反向传播算法
链式法则（Chain Rule）
- \(z=h(y),y=g(x)\to\frac{dz}{dx}=\frac{dz}{dy}\frac{dy}{dx}\)
- \(z=k(x,y),x=g(s),y=h(s)\to\frac{dz}{ds}=\frac{dz}{dx}\frac{dx}{ds}+\frac{dz}{dy}\frac{dy}{ds}\)
反向传播算法（Backpropagation）
变量定义
如下图所示，设神经网络的输入为\(x^n\)，该输入对应的label是\(\hat y^n\)，神经网络的参数是\(\theta\)，神经网络的输出是\(y^n\)。
整个神经网络的Loss为\(L(\theta)=\sum_{n=1}^{N}C^n(\theta)\)。假设\(\theta\)中有一个参数\(w\)，那\(\frac{\partial L(\theta)}{\partial w}=\sum^N_{n=1}\frac{\partial C^n(\theta)}{\partial w}\)。
一个神经元的情况
如下图所示，\(z=x_1w_1+x_2w_x+b\)，根据链式法则可知\(\frac{\partial C}{\partial w}=\frac{\partial z}{\partial w}\frac{\partial C}{\partial z}\)，其中为所有参数\(w\)计算\(\frac{\partial z}{\partial w}\)是Forward Pass、为所有激活函数的输入\(z\)计算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)是Backward Pass。
Forward Pass
Forward Pass是为所有参数\(w\)计算\(\frac{\partial z}{\partial w}\)，它的方向是从前往后算的，所以叫Forward Pass。
以一个神经元为例，因为\(z=x_1w_1+x_2w_x+b\)，所以\(\frac{\partial z}{\partial w_1}=x_1,\frac{\partial z}{\partial w_2}=x_2\)，如下图所示。
规律是：该权重乘以的那个输入的值。所以当有多个神经元时，如下图所示。
Backward Pass
Backward Pass是为所有激活函数的输入\(z\)计算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)，它的方向是从后往前算的，要先算出输出层的\(\frac{\partial C}{\partial z}\)，再往前计算其它神经元的\(\frac{\partial C}{\partial z}\)，所以叫Backward Pass。
如上图所示，令\(a=\sigma(z)\)，根据链式法则，可知\(\frac{\partial C}{\partial z}=\frac{\partial a}{\partial z}\frac{\partial C}{\partial a}\)，其中\(\frac{\partial a}{\partial z}=\sigma'(z)\)是一个常数，因为在Forward Pass时\(z\)的值就已经确定了，而\(\frac{\partial C}{\partial a}=\frac{\partial z'}{\partial a}\frac{\partial C}{\partial z'}+\frac{\partial z''}{\partial a}\frac{\partial C}{\partial z''}=w_3\frac{\partial C}{\partial z'}+w_4\frac{\partial C}{\partial z''}\)，所以\(\frac{\partial C}{\partial z}=\sigma'(z)[w_3\frac{\partial C}{\partial z'}+w_4\frac{\partial C}{\partial z''}]\)。
对于式子\(\frac{\partial C}{\partial z}=\sigma'(z)[w_3\frac{\partial C}{\partial z'}+w_4\frac{\partial C}{\partial z''}]\)，我们可以发现两点：
-
\(\frac{\partial C}{\partial z}\)的计算式是递归的，因为在计算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)的时候需要计算\(\frac{\partial C}{\partial z'}\)和\(\frac{\partial C}{\partial z''}\)。
如下图所示，输出层的\(\frac{\partial C}{\partial z'}\)和\(\frac{\partial C}{\partial z''}\)是容易计算的。
-
\(\frac{\partial C}{\partial z}\)的计算式\(\frac{\partial C}{\partial z}=\sigma'(z)[w_3\frac{\partial C}{\partial z'}+w_4\frac{\partial C}{\partial z''}]\)是一个神经元的形式
如下图所示，只不过没有嵌套sigmoid函数而是乘以一个常数\(\sigma'(z)\)，每个\(\frac{\partial C}{\partial z}\)都是一个神经元的形式，所以可以通过神经网络计算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)。
总结
- 通过Forward Pass，为所有参数\(w\)计算\(\frac{\partial z}{\partial w}\)；
- 通过Backward Pass，为所有激活函数的输入\(z\)计算\(\frac{\partial C}{\partial z}\)；
- 最后\(\frac{\partial C}{\partial w}=\frac{\partial C}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial w}\)，也就求出了梯度。
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