李宏毅机器学习课程笔记-4.2分类模型之概率生成模型
贝叶斯公式
\(P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)\)
\(P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\)
全概率公式
\(P(B)=\sum_{i=1}^nP(A_i)P(B|A_i)\)
概率生成模型（Probalitity Generative Model）
理论与定义
假设有两个类别\(C_1\)和\(C_2\)，要判断对象\(x\)属于哪个类别，即计算\(x\)属于类别\(C_1\)的概率，这样把分类问题变成了概率计算问题。
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根据贝叶斯公式（Bayes' theorem）和全概率公式（Total Probability Theorem）可以知道，\(x\)属于类别\(C_1\)的概率为\(P(C_1|x)=\frac{P(x|C_1)P(C_1)}{P(x)}=\frac{P(x|C_1)P(C_1)}{P(x|C_1)P(C_1)+P(x|C_2)P(C_2)}\)，如果\(P(C_1|x)>0.5\)则类别为\(C_1\)，否则类别为\(C_2\)。
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概率生成模型的意思就是可以通过这个模型生成一个\(x\)。
具体来讲就是，根据\(P(x)=P(x|C_1)P(C_1)+P(x|C_2)P(C_2)\)计算出\(P(x)\)，就可以知道\(x\)的分布进而生成\(x\)。如果想要计算出\(P(x)\)，就要根据训练集估计出\(P(C_1)\)、\(P(x|C_1)\)、\(P(C_2)\)、\(P(x|C_2)\)这四个值。
更直观一点地讲，每个类别就是一个多元正态分布，其中多元是因为每个样本有多个维度的特征。
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可以根据数据集中属于两个类别的对象的数量计算\(P(C_1)\)和\(P(C_2)\)这两个先验概率（Prior Probability）。
如果有2个样本属于类别\(C_1\)，4个样本属于类别\(C_2\)，那\(P(C_1)=\frac{1}{3}\)、\(P(C_2)=\frac{2}{3}\)。
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要计算后验概率（Posterior Probability）\(P(x|C_1)\)和\(P(x|C_2)\)，可以假设训练集中的各类别样本的特征分别是从某个多元正态分布（多元对应特征的多维）中取样得到的，或者说是假设训练集中各类别样本的特征分别符合某多元正态分布。
该正态分布的输入是一个样本的特征\(x\)，输出为样本\(x\)是从这个正态分布取样得到（或者说该样本属于某类别）的概率密度，然后通过积分就可以求得\(P(x|C_1)\)和\(P(x|C_2)\)。
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正态分布公式为\(f_{\mu,\Sigma}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{\frac{D}{2}}}\frac{1}{|\Sigma|^{\frac{1}{2}}}e^{-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)}\)。
正态分布有2个参数，即均值\(\mu\)（代表正态分布的中心位置）和协方差矩阵（Covariance Matrix）\(\Sigma\)（代表正态分布的离散程度），计算出均值\(\mu\)和协方差\(\Sigma\)即可得到该正态分布。
公式中的\(D\)为多维特征的维度。
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实际上从任何一个正态分布中取样都有可能得到训练集中的特征，只是概率不同而已。通过极大似然估计（Maximum Likelihood Estimate，MLE），我们可以找到取样得到训练集特征的概率最大的那个正态分布，假设其均值和协方差矩阵为\(\mu^*\)和\(\Sigma^*\)。
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根据某正态分布的均值\(\mu\)和协方差\(\Sigma\)，可以计算出从该正态分布取样得到训练集的概率。\(L(\mu,\Sigma)=f_{\mu,\Sigma}(x^1)f_{\mu,\Sigma}(x^2)\dots f_{\mu,\Sigma}(x^N)\)，这就是似然函数（Likelihood Function），其中\(N\)是训练集中某个类别样本的数量。
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\(\mu^*,\Sigma^*=arg\ max_{\mu,\Sigma}L(\mu,\Sigma)\)。
当然可以求导。
直觉：\(\mu^*=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nx^i\)，\(\Sigma^*=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x^i-\mu^*)(x^i-\mu^*)T\)。
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协方差矩阵共享
每个类别的特征符合一个多元正态分布，每个多元正态分布也有不同的均值和协方差矩阵。让每个类别对应的多元正态分布共享一个协方差矩阵（各个协方差矩阵的加权平均和），公式为\(\Sigma=\frac{N_1}{N_1+N_2}\Sigma^1+\frac{N_2}{N_1+N_2}\Sigma^2\)，可以减少模型参数，缓解过拟合。
极大似然估计
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定义
极大似然估计指已知某个随机样本满足某种概率分布，但是其中具体的参数不清楚，然后通过若干次试验，观察其结果，利用结果推出参数的大概值。一般说来，在一次试验中如果事件A发生了，则认为此时的参数值会使得\(P(A|\theta)\)最大，极大似然估计法就是要这样估计出的参数值，使所选取的样本在被选的总体中出现的可能性为最大。
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求极大似然函数估计值的一般步骤：
- 写出似然函数
- 对似然函数取对数，并整理
- 求导数
- 解似然方程
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当共享协方差矩阵时
此时似然函数是\(L(\mu^1,\mu^2,\Sigma)=f_{\mu^1,\Sigma}(x^1)f_{\mu^2,\Sigma}(x^2)\dots f_{\mu^1,\Sigma}(x^{N_1})\times f_{\mu^2,\Sigma}(x^{N_1+1})f_{\mu^2,\Sigma}(x^{N_1+2})\dots f_{\mu^2,\Sigma}(x^{N_1+N_2})\)，其中\(N_1\)为训练集中类别\(C_1\)的样本数、\(N_2\)为训练集中类别\(C_2\)的样本数。
当只有两个类别、两个特征时，如果共享协方差矩阵，那最终得到的两个类别的分界线是直线（横纵轴是两个特征），这一点可以在下文解释。
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除了正态分布，还可以用其它的概率模型。
比如对于二值特征，可以使用伯努利分布（Bernouli Distribution）。
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朴素贝叶斯分类
如果假设样本各个维度的数据是互相独立的，那这就是朴素贝叶斯分类器（Naive Bayes Classfier）。
Sigmoid函数
由上面我们知道\(P(C_1|x)=\frac{P(x|C_1)P(C_1)}{P(x|C_1)P(C_1)+P(x|C_2)P(C_2)}=\frac{1}{1+\frac{P(x|C_2)P(C_2)}{P(x|C_1)P(C_1)}}\)，
令\(z=ln\frac{P(x|C_1P(C_1)}{P(x|C_2P(C_2))}\)，则\(P(C_1|x)=\frac{P(x|C_1)P(C_1)}{P(x|C_1)P(C_1)+P(x|C_2)P(C_2)}=\frac{1}{1+\frac{P(x|C_2)P(C_2)}{P(x|C_1)P(C_1)}}=\frac{1}{1+e^{-z}}=\sigma(z)\)，这就是Sigmoid函数。
如果共享协方差矩阵，经过运算可以得到\(z=w^T\cdot x+b\)的形式，其中常量\(w^T=(\mu^1-\mu^2)^T\Sigma^{-1}\)，常量\(b=-\frac{1}{2}(\mu^1)^T(\Sigma^1)^{-1}\mu^1+\frac{1}{2}(\mu^2)^T(\Sigma^2)^{-1}\mu^2+ln\frac{N_1}{N_2}\)，即形如\(P(C_1|x)=\sigma(w\cdot x+b)\)。
我们最终得到了一个这么简单的一个式子，有一个问题是，我们假设了分布、用了一堆概率，为什么不能直接定义线性模型呢？该问题的答案在下一篇文章李宏毅机器学习课程笔记-4.3分类模型之逻辑回归中的判别模型VS生成模型部分。
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