数据结构-哈希
背景
散列(hash)是常见的算法思想之一,在很多程序中都会有意无意地使用到。
若给出\(N\)个正整数,再给出\(M\)个正整数,问这M个数中的每个数分别是否在\(N\)个数出现过,其中\(N,M\leq10^5\),且所有正整数均不超过\(10^5\)。
对这个问题,最直接的思路是:对每个欲查询的正整数\(x\),遍历\(N\)个数,看是否有一个数与x相等。这种做法的时间复杂度是\(O(NM)\),当\(N\)和\(M\)都很大(\(10^5\)级别)时,显然是无法承受的。
不妨用空间换时间,即设定一个bool
型数组hashTable[100010]
,其中hashTable[x]==true
表示正整数\(x\)在\(n\)个正整数中出现过。这样就可以在一开始读入\(N\)个正整数时就对hashTable
进行赋值,于是对于\(M\)个欲查询的数,就能直接通过hashTable
判断出每个数是否出现过。显然这种做法的时间复杂度为\(O(M+N)\)。
同样的,如果题目要求统计次数而非是否出现,就把数组改成int
型,这两个问题的解法都有一个特点,那就是直接把输入的数作为数组的下标来对这个数的性质进行统计(这种做法非常实用,请务必掌握)。这是一个很好的用空间换时间的策略,因为它将查询的复杂度降到了\(O(1)\)级别。
但这个策略暂时还有一个问题——上面的题目中出现的每个数都不会超过\(10^5\),因此直接作为数组下标是可行的,但是如果输入可能是\(10^9\)大小的整数,或者甚至是一个字符串,就不能将它们直接作为数组下标了。这时可以使用散列。
散列/哈希简介
一般来说,可以精简地将散列定义为“将元素通过一个函数转换为整数,使得该正数可以尽量唯一地代表这个元素”,其中把这个转换函数称为散列函数H,也就是说,如果元素在转换前为key
,那么转换后就是一个整数H(key)
。
对于key
是整数的情况来说,常用的散列函数有直接定址法、平方取中法、除留余数法。
H(key1)==H(key2)
,这种情况叫作冲突。常用的解决冲突的方法有线性探查法、平方探查法和链地址法,其中前两种都计算了新的hash值,又称为开放定址法。
在写代码时,这种散列的功能可以用STL中的map
代替。
哈希函数、哈希表、哈希地址
根据设定的哈希函数\(H(key)\)和处理冲突的方法将一组关键字映像到一个有限的连续的地址集(区间)上,并以关键字在地址集上的“像”作为记录在表中的存储位置,这种表便称为哈希表,这一映像过程称为哈希造表或散列,所得存储位置成哈希地址或散列地址。
冲突、同义词
不同的关键字经哈希函数映像后求得到的哈希地址可能相同,即\(key1\neq key2\ and \ H(key1)=H(key2)\),这就是冲突(collision);具有相同哈希地址的关键字对该哈希函数来说就是同义词(synonym)。
哈希函数选得合适可以减少冲突现象。
一般情况下,哈希函数是一个压缩映像(关键字集合到地址集合的映像,而关键字集合的大小远大于地址集合),因此冲突只能尽可能地少而不能完全避免。
哈希函数的构造方法
常用的构造哈希函数的方法有:
- 直接定址法
- 数字分析法
- 平方取中法
- 折叠法
- 除留余数法
- 随机数法
处理冲突的方法
处理冲突过程中会有一个地址序列\(H_i,i=1,2,\dots,k\),即如果发生冲突,就去找下一个地址。
通常用的处理冲突的方法有下列几种:
- 开放定址法
- 再哈希法
- 链地址法
- 建立一个公共溢出区
开放定址法
其中\(H(key)\)为哈希函数;\(m\)是哈希表表长;\(d_i\)为增量序列,可以有下面3种取法:
- \(d_i=1,2,3\dots,m-1\),称为线性探测再散列
- \(d_i=1^2,-1^2,2^2,-2^2,3^2,\dots,\pm k^2,(k\leq m/2)\),称为二次探测再散列
- \(d_i=伪随机数序列\),称为伪随机探测再散列
字符串hash
一个点\(P\)的坐标\((x,y)\)可以用下面的散列函数进行处理:
\(H(P)=x\times Range+y\),这样对数据范围内的任意两个整点\(P_1\)和\(P_2\),\(H(P_1)\)都不会等于\(H(P_2)\)。
字符串hash是指将一个字符串\(S\)转换为一个整数,使得该整数可以尽可能地唯一地代表字符串\(S\)。本节只讨论将字符串转换为唯一的整数。
假设字符串\(S\)由大写字母\(A \sim Z\)构成。在这个假设下,可以把26个大写字母视为\(0\sim25\),进而转换为二十六进制,再转换为十进制,可得一唯一整数。只是\(S\)的长度并不可太长。
在上面的假设下,假如还可以由\(a\sim z\)组成,可以再把\(a\sim z\)对应为\(26\sim51\),进而转换为五十二进制,再转换为十进制。
作者:@臭咸鱼
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