2010NOIP提高初赛问题求解第三题

2010NOIP提高初赛问题求解第三题

题目

记 \(T\) 为一队列,初始时为空,现有 \(n\) 个总和不超过 \(32\) 的正整数依次入列.如果无论这些数具体为何值,都能找到一种出队的方式,使得存在某个时刻队列 \(T\) 中的数之和恰好为 \(9\) ,那么 \(n\) 的最小值是？

题解

解法好巧妙，考虑把分成的数记为 \(\{a_i\},i\in T\)（为方便起见，令 \(T=[1,n],S=[0,n]\)，下同），记前 \(i\) 项的和为 \(b_i,i\in S\) 且 \(i>j\Leftrightarrow b_i>b_j,i,j\in S\)，于是题目就相当于找两个 \(b_i.b_j\) 使得 \(b_i-b_j=9\)

由于 \(\sum_{i=1}^n a_i=32\) 所以 \(\forall i\in S,b_i\in[1,32]\)

至此 已经与 \(\{a\}\) 没有关系了 现在来看 \(\{b\}\)，考虑把 \(1\to 32\) 每 \(9\) 项一列写出来：

0  9 18 27
1 10 19 28
2 11 20 29
3 12 21 30
4 13 22 31
5 14 23 32
6 15 24
7 16 25
8 17 26

对于第一行，若差都不为\(9\)，\(\{b\}\) 中最多出现两个（\(1,19\)、\(1,28\)、\(10,28\) ）

接着对下面每一行做一遍这个事情，就得到了：

若差都不为 \(9\)，则最多选择的数为 \(2+2+2+2+2+2+2+2+2=18\)

但是由于前缀和算进了 \(0\)，故差都不为 \(9\) 的情况下， \(\{a\}\) 中的数最多有 \(17\) 个

所以最小的 \(n\) 为 \(18\)

至此 解答就结束了

---

完了吗？

并没有 我们考虑上面的表，其实正是相当于 \(i\) 向 \(i+9\) 连边，最后求了一遍最大独立集

其实这种方法不难 \(\text O(1)\) 地拓展到任意的和来替换掉原题中的 \(32\) 与 \(9\)，具体式子就不再赘述，读者可以自行计算。