「十二省联考 2019」异或粽子——tire树+堆
题目
【题目描述】
小粽是一个喜欢吃粽子的好孩子。今天她在家里自己做起了粽子。
小粽面前有 $n$ 种互不相同的粽子馅儿，小粽将它们摆放为了一排，并从左至右编号为 $1$ 到 $n$。第 $i$ 种馅儿具有一个非负整数的属性值 $a_i$。每种馅儿的数量都足够多，即小粽不会因为缺少原料而做不出想要的粽子。小粽准备用这些馅儿来做出 $k$ 个粽子。
小粽的做法是：选两个整数数 $l,r$，满足 $1\le l\le r\le n$，将编号在 $[l,r]$ 范围内的所有馅儿混合做成一个粽子，所得的粽子的美味度为这些粽子的属性值的**异或**和。（异或就是我们常说的 $\mathrm{xor}$ 运算，即 C/C++ 中的 `^` 运算符或 Pascal 中的 `xor` 运算符）
小粽想品尝不同口味的粽子，因此它不希望用同样的馅儿的集合做出一个以上的粽子。
小粽希望她做出的所有粽子的美味度之和最大。请你帮她求出这个值吧！
【输入格式】
从标准输入读入数据。
第一行两个正整数 $n,k$，表示馅儿的数量，以及小粽打算做出的粽子的数量。
接下来一行为 $n$ 个非负整数，第 $i$ 个数为 $a_i$，表示第 $i$ 个粽子的属性值。
【输出格式】
输出到标准输出。
输出一行一个整数，表示小粽可以做出的粽子的美味度之和的最大值。
【样例输入】
3 2
1 2 3
【样例输出】
6
【数据范围与提示】
|测试点|$n$|$k$|
|:-:|:-:|:-:|
|$1\sim 8$|$\le 10^{3}$|$\le 10^{3}$|
|$9\sim 12$|$\le 5 \times 10^{5}$|$\le 10^{3}$|
|$13\sim 16$|$\le 10^{3}$|$\le 2 \times 10^{5}$|
|$17\sim 20$|$\le 5 \times 10^{5}$|$\le 2 \times 10^{5}$|
对于所有的输入数据都满足：$1\le n \le 5 \times 10^{5},1\le k\le \min\left\{\frac{n(n-1)}{2},2 \times 10^{5}\right\},0\le a_i \le 4,294,967,295$。
题解
首先考虑在前缀异或和上暴力，$ n^2 $ 找出所有的值，放进堆里，取前 $ k $ 大的即可，效率 $ O(n^2+\log k) $，可以过 $ 60 \% $
显然把 $ x $ 所有能匹配的都找出来是不可能的，于是考虑在 tire 树上贪心
建 $ n $ 棵可持久化 tire 树，然后在 $ [0,i-1] $ 上贪心即可
考虑如何去重
于是我在测试时想到将 $ x $ 贪心对应的最大值的点 $ p $ 挖掉，然后变成两个区间 $ [l,p-1] $ 和 $ [p+1,r] $，找对应点时建一个链表即可（类似《超级钢琴》）
然而这样的常数太大，于是 map TLE，但还有 unorder map 嘛，跑得飞快
其实可以在 tire 树上二分第 $ k $ 大的值，放入堆时记录下是第 $ k $ 大的即可，为什么我没有想到
代码
显然二分是不可能去写的
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 #define U unsigned 4 #include<tr1/unordered_map> 5 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar()))) 6 using namespace std; 7 LL R(){ 8 LL x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=0;x=ch^48; 9 _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;} 10 const int N=5e5+5; 11 int n,m,rot[N],tr[N*100][2],cnt,s[N*100][2],nex[N]; 12 LL a[N],sum[N],ans; 13 struct node{ 14 LL w,v;int l,r; 15 bool friend operator <(node a,node b){return a.w<b.w;} 16 };priority_queue<node> q; 17 tr1::unordered_map<LL,int>mp; 18 void insert(int &k,int o,LL len,LL v){ 19 if(!~len)return; 20 k=++cnt; 21 int f=(v>>len)&1; 22 tr[k][f^1]=tr[o][f^1],s[k][f^1]=s[o][f^1],s[k][f]=s[o][f]+1; 23 insert(tr[k][f],tr[o][f],len-1,v); 24 } 25 LL query(int k,int o,LL len,LL v){ 26 if(!~len)return 0; 27 int f=(v>>len)&1; 28 if(s[k][f^1]-s[o][f^1]) 29 return (1ll<<len)+query(tr[k][f^1],tr[o][f^1],len-1,v); 30 else return query(tr[k][f],tr[o][f],len-1,v); 31 } 32 int find(LL x,int l,int r){ 33 for(int k=mp[x];k;k=nex[k]) 34 if(k<=r&&k>=l)return k; 35 return 0;} 36 int main(){ 37 n=R(),m=R(); 38 insert(rot[0],0,32,0); 39 for(int i=1;i<=n;i++){ 40 a[i]=R(),sum[i]=sum[i-1]^a[i]; 41 nex[i]=mp[sum[i]],mp[sum[i]]=i; 42 insert(rot[i],rot[i-1],32,sum[i]); 43 } 44 for(int i=1;i<=n;i++){ 45 LL w=query(rot[i-1],0,32,sum[i]); 46 q.push((node){w,sum[i],0,i-1}); 47 } 48 while(m--){ 49 node now=q.top();q.pop();ans+=now.w; 50 int id=find(now.w^now.v,now.l,now.r); 51 if(id-1>=now.l)q.push((node){query(rot[id-1],rot[now.l-1],32,now.v),now.v,now.l,id-1}); 52 if(now.r>=id+1)q.push((node){query(rot[now.r],rot[id+1-1],32,now.v),now.v,id+1,now.r}); 53 } 54 cout<<ans<<endl; 55 return 0; 56 }
