消耗战——dp+虚树
题目
【题目描述】
在一场战争中，战场由 $n$ 个岛屿和 $n-1$ 个桥梁组成，保证每两个岛屿间有且仅有一条路径可达。现在，我军已经侦查到敌军的总部在编号为 $1$ 的岛屿，而且他们已经没有足够多的能源维系战斗，我军胜利在望。已知在其他 $k$ 个岛屿上有丰富能源，为了防止敌军获取能源，我军的任务是炸毁一些桥梁，使得敌军不能到达任何能源丰富的岛屿。由于不同桥梁的材质和结构不同，所以炸毁不同的桥梁有不同的代价，我军希望在满足目标的同时使得总代价最小。
侦查部门还发现，敌军有一台神秘机器。即使我军切断所有能源之后，他们也可以用那台机器。机器产生的效果不仅仅会修复所有我军炸毁的桥梁，而且会重新随机资源分布（但可以保证的是，资源不会分布到 $1$ 号岛屿上）。不过侦查部门还发现了这台机器只能够使用 $m$ 次，所以我们只需要把每次任务完成即可。
【输入格式】
第一行一个整数 $n$ ，代表岛屿数量。
接下来 $n-1$ 行，每行三个整数 $u,v,w$ ，代表 $u$ 号岛屿和 $v$ 号岛屿由一条代价为 $c$ 的桥梁直接相连，保证 $1 \le u,v \le n$ 且 $1 \le c \le 100000 $ 。
第 $n+1$ 行，一个整数 $m$ ，代表敌方机器能使用的次数。
接下来 $m$ 行，每行一个整数 $k_i$ ，代表第 $i$ 次后，有 $k_i$ 个岛屿资源丰富，接下来 $k$ 个整数$h_1,h_2,…h_k$ ，表示资源丰富岛屿的编号。
【输出格式】
输出有 $m$ 行，分别代表每次任务的最小代价。
【样例输入】
10
1 5 13
1 9 6
2 1 19
2 4 8
2 3 91
5 6 8
7 5 4
7 8 31
10 7 9
3
2 10 6
4 5 7 8 3
3 9 4 6
【样例输出】
12
32
22
【数据范围与提示】
对于100%的数据， $2 \le n \le 250000,m \ge 1, \sum{k_i} \le 500000,1 \le k_i \le n-1 $
题解
考虑树形 dp，记 $ g[i] $ 表示将 $ i $ 及其子树断开的最小代价，然后发现效率过不去
因为 $ \sum k \leq 5 \times 10^5 $，考虑构造虚树，然后直接 dp 即可
时间效率：$ O(2\log n\times \sum k) $，因为一棵虚树最多只有 $ 2k $ 个点，查询 LCA 的效率为 $ O(\log n) $
构造虚树：https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9175152.html
代码
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 #define pb push_back 4 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar()))) 5 using namespace std; 6 int R(){ 7 int x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=0;x=ch^48; 8 _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;} 9 const int N=2.5e5+5; 10 int n,m,f[N][25],head[N],cnt,dfn[N],dep[N],a[N],sta[N],top,tot,lg; 11 LL g[N]; 12 vector<int>G[N]; 13 struct edge{int to,nex;LL w;}e[N<<1]; 14 bool cmp(int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];} 15 void add(int s,int t,int w){e[++cnt]=(edge){t,head[s],w},head[s]=cnt;} 16 void dfs(int u,int far){ 17 dfn[u]=++tot,f[u][0]=far,dep[u]=dep[far]+1; 18 for(int i=1;i<=lg;i++)f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1]; 19 for(int k=head[u],v;k;k=e[k].nex) 20 if((v=e[k].to)!=far) 21 g[v]=min(g[u],e[k].w),dfs(v,u); 22 } 23 int lca(int x,int y){ 24 if(dep[x]>dep[y])swap(x,y); 25 int i=lg; 26 while(dep[x]<dep[y]){ 27 while(i&&dep[x]>dep[f[y][i]])i--; 28 y=f[y][i];} 29 i=lg; 30 while(x!=y){ 31 while(i>0&&f[x][i]==f[y][i])i--; 32 x=f[x][i],y=f[y][i];} 33 return x; 34 } 35 void insert(int x){ 36 if(top==1){sta[++top]=x;return;} 37 int far=lca(x,sta[top]); 38 if(far==sta[top])return; 39 while(top>1&&dfn[sta[top-1]]>=dfn[far]) 40 G[sta[top-1]].pb(sta[top]),top--; 41 if(far!=sta[top])G[far].pb(sta[top]),sta[top]=far; 42 sta[++top]=x; 43 return; 44 } 45 LL work(int x){ 46 if(!G[x].size())return g[x]; 47 LL sum=0; 48 for(int i=G[x].size()-1;~i;i--) 49 sum+=work(G[x][i]); 50 G[x].clear(); 51 return min(sum,(LL)g[x]); 52 } 53 int main(){ 54 memset(g,0x3f,sizeof g); 55 n=R(),lg=log2(n)+1; 56 for(int i=1,u,v,w;i<n;i++) 57 u=R(),v=R(),w=R(),add(u,v,w),add(v,u,w); 58 dfs(1,1); 59 for(int q=R();q--;){ 60 m=R(); 61 for(int i=1;i<=m;i++)a[i]=R(); 62 sort(a+1,a+1+m,cmp); 63 sta[top=1]=1; 64 for(int i=1;i<=m;i++)insert(a[i]); 65 while(top)G[sta[top-1]].pb(sta[top]),top--; 66 printf("%lld\n",work(1)); 67 } 68 return 0; 69 }
