BZOJ2388:旅行规划（travel）——分块凸包
题目
OIVillage 是一个风景秀美的乡村，为了更好的利用当地的旅游资源，吸引游客，推动经济发展，xkszltl 决定修建了一条铁路将当地 $n$ 个最著名的经典连接起来，让游客可以通过火车从铁路起点（ $1$ 号景点）出发，依次游览每个景区。为了更好的评价这条铁路，xkszltl 为每一个景区都赋予了一个美观度，而一条旅行路径的价值就是它所经过的景区的美观度之和。不过，随着天气与季节的变化，某些景点的美观度也会发生变化。
xkszltl 希望为每位旅客提供最佳的旅行指导，但是由于游客的时间有限，不一定能游览全部景区，然而他们也不希望旅途过于短暂，所以每个游客都希望能在某一个区间内的车站结束旅程，而 xkszltl 的任务就是为他们选择一个终点使得旅行线路的价值最大。可是当地的景点与前来观光的旅客实在是太多了，xkszltl 无法及时完成任务，于是找到了准备虐杀 NOI2019 的你，希望你能帮助他完成这个艰巨的任务。
【输入格式】
第一行给出一个整数 $n$，接下来一行给出 $n$ 的景区的初始美观度。
第三行给出一个整数 $m$，接下来 $m$ 行每行为一条指令：
$1.~~~0~x~y~k$：表示将 $x$ 到 $y$ 这段铁路边上的景区的美观度加上 $k$；
$2.~~~1~x~y$：表示有一名旅客想要在 $x$ 到 $y$ 这段（含 $x$ 与 $y$ ）中的某一站下车，你需要告诉他最大的旅行价值。
【输出格式】
对于每个询问，输出一个整数表示最大的旅行价值。
【样例输入】
5
1 8 -8 3 -7
3
1 1 5
0 1 3 6
1 2 4
【样例输出】
9
22
【数据范围与提示】
对于 $20\%$ 的数据，$n,m≤3000$；
对于 $40\%$ 的数据，$n,m≤30000$；
对于 $50\%$ 的数据，$n,m≤50000$；
另外 $20\%$ 的数据，$n,m≤100000$，修改操作 $≤20$；
对于 $100\%$ 的数据，$n,m≤100000$。
题解
无力吐槽这组超级强（孱弱）的样例（过了样例还是调出了 INF 个错）
题目求得是区间最大前缀和，带区间加值操作
然后发现线段树无法在 $ O(\log n) $ 的时间内维护区间加上一次函数后的最大值
考虑分块维护最大值
记 $ sum(i) $ 表示前缀和，$ num(i) $ 表示块 $ i $ 加上的一次函数，$ d(i) $ 表示这个块需要加上的常数，
那么 $ sum(i)=num(i)\times i +d(i) $
发现最大值形如 $ y=kx+b $，然后就可以在块上维护一个凸包
当块上加一个一次函数时，凸包的点是不会改变的，那么每次加值时就只要每次重构左右两边的两个凸包即可
查询时只要在每一个块的凸包上二分即可
时间：修改时$ O(\sqrt{n}) $，查询时 $ O(\sqrt{n}) $，所以总时间 $ O(m\sqrt{n}\log n) $
代码
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 #define db double 4 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar()))) 5 using namespace std; 6 int R(){ 7 int x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=0;x=ch^48; 8 _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;} 9 const int N=1e5+5,M=1002; 10 int n,m,a[N],Sz,Mx,p[N],sz[M],tb[M][M]; 11 LL w[N],num[N],f[N],d[N]; 12 db getK(int i,int j){return (db)(w[i]-w[j])/(db)(i-j);} 13 void update(int x){ 14 int l=(x-1)*Sz+1,r=min(x*Sz,n),tot=0; 15 p[++tot]=l; 16 for(int i=l+1;i<=r;i++){ 17 while(tot>1&&getK(p[tot],p[tot-1])<getK(p[tot-1],i)) 18 tot--; 19 p[++tot]=i; 20 } 21 sz[x]=tot; 22 for(int i=1;i<=tot;i++)tb[x][i]=p[i]; 23 return; 24 } 25 void pushdown(int x){ 26 LL o=num[x]; 27 for(int i=(x-1)*Sz+1;i<=min(x*Sz,n);i++) 28 o+=d[x],w[i]+=o; 29 num[x]=d[x]=0; 30 return; 31 } 32 void change(int l,int r,int k){ 33 int x=a[l],y=a[r];LL o=0; 34 pushdown(x); 35 for(int i=l;i<=min(x*Sz,r);i++) 36 o+=k,w[i]+=o; 37 update(x); 38 for(int i=x+1;i<y;i++) 39 num[i]+=o,d[i]+=k,o+=1ll*Sz*k; 40 if(x!=y){ 41 pushdown(y); 42 for(int i=(y-1)*Sz+1;i<=r;i++) 43 o+=k,w[i]+=o; 44 } 45 o=(r-l+1)*k; 46 for(int i=r+1;i<=min(n,y*Sz);i++)w[i]+=o; 47 update(y); 48 for(int i=y+1;i<=Mx;i++)num[i]+=o; 49 return; 50 } 51 LL find(int i){ 52 if(!i||i>n)return (LL)-2e18; 53 return (w[i]+num[a[i]]+d[a[i]]*(i-(a[i]-1)*Sz)); 54 } 55 LL work(int x){ 56 int l=1,r=sz[x]; 57 while(l<=r){ 58 int mid=(l+r)>>1; 59 LL t1=find(tb[x][mid-1]); 60 LL t2=find(tb[x][mid]); 61 LL t3=find(tb[x][mid+1]); 62 if (t1<t2 && t2<t3) l=mid+1; 63 else if (t1>t2 && t2>t3) r=mid-1; 64 else return t2; 65 } 66 return l; 67 } 68 LL query(int l,int r){ 69 int x=a[l],y=a[r];LL ans=-2e18; 70 for(int i=x+1;i<y;i++) 71 ans=max(ans,work(i)); 72 for(int i=l;i<=min(x*Sz,r);i++) 73 ans=max(ans,find(i)); 74 if(x!=y) 75 for(int i=(y-1)*Sz+1;i<=r;i++) 76 ans=max(ans,find(i)); 77 return ans; 78 } 79 int main(){ 80 n=R(),Sz=sqrt(n); 81 for(int i=1;i<=n;i++) 82 w[i]=w[i-1]+R(),a[i]=(i-1)/Sz+1; 83 Mx=a[n],m=R(); 84 for(int i=1;i<=Mx;i++)update(i); 85 for(int i=1;i<=m;i++){ 86 int op=R(),x=R(),y=R(),k; 87 if(op==1)printf("%lld\n",query(x,y)); 88 if(!op)k=R(),change(x,y,k); 89 } 90 return 0; 91 }
