QQ 数（number.pas/c/cpp）——莫比乌斯函数
题目
【问题描述】
企鹅国数学家 QQ 潜心研究数论，终于发现了一个简单的数论问题！
一个 QQ 数定义为一个拥有一个大于 $ 1 $ 的完全平方数为因子的数字，一个数字的 QQ 值定义为这个数是 QQ 数的因数个数。
现在 QQ 想知道在 $[L,R]$ 范围内，每个整数的 QQ 值之和是多少？
你只需要告诉他这个数字，他就可以给你宝贵的 $ 10 $ 分作为一个奖励！
【输入格式】
第一行两个整数 $ L, R $ 代表要求的数字范围；
【输出格式】
输出一个整数表示 `L~R` 里每个数字的 QQ 值之和。
【输入样例】
1 10
【输出样例】
4
【样例说明】
4 的 QQ 值为 1，8 的 QQ 值为 2，9 的 QQ 值为 1。
【数据范围】
对于 $ 10\% $ 的数据，$ R\leq 10^4 $；
对于另外 $ 30\% $ 的数据，$ R\leq 10^6 $；
对于另外 $ 10\% $的数据，$ R \leq 10^7 $；
对于 $ 100\% $的数据，$ 1 \leq L\leq R \leq 10^9 $；
题解
因为 $ \mu(i) $ 含有平方因子的值为0，于是可以巧妙利用这个性质
记 $ [1,n] $ 的值为
$\ \ \ \ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i}[1-\mu(d)] $
$ =\sum_{d=1}^n[1-\mu(d)^2] \lfloor \frac{n}{d} \rfloor $
$ =\sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor - \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 $
然后可以发现前面的 $ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor $ 可以分块，但后面的 $ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 \ n \leq 10^9 $，没有办法预处理
考虑 $ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 $ 的几何意义
$ \sum_{d=1}^n \lfloor \frac{n}{d} \rfloor \mu(d)^2 = n- \lfloor \frac{n}{2} \rfloor - \lfloor \frac{n}{3} \rfloor -\lfloor \frac{n}{5} \rfloor + \lfloor \frac{n}{6} \rfloor +... $
可以发现当 $ i> \sqrt{n} $ 时 $ \lfloor \frac{n}{i} \rfloor = 0$
所以只要枚举到 $ \sqrt{n} $ 时即可（其实还是可以分块优化的）
然后就可以在 $ O(\sqrt{n}) $ 完成
再附一种做法：
$ -\sum_{i=2}^{\sqrt{n}}\mu(i)\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i^2 j} \rfloor} \lfloor \frac{n}{i^2 j} \rfloor $ 直接分块即可
代码
1 #include<bits/stdc++.h> 2 #define LL long long 3 #define _(d) while(d(isdigit(ch=getchar()))) 4 using namespace std; 5 int R(){ 6 int x;bool f=1;char ch;_(!)if(ch=='-')f=0;x=ch^48; 7 _()x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48);return f?x:-x;} 8 const int N=1e7+5; 9 int p[N],vis[N],mu[N],l,r,tot; 10 LL make(int n){ 11 LL ans=0; 12 for(int i=1;i*i<=n;i++) 13 ans+=mu[i]*(n/(i*i)); 14 return ans; 15 } 16 LL work(int n){ 17 LL ans=0,res=0; 18 for(int i=1,l;i<=n;i=l+1) 19 l=n/(n/i),ans+=(n/i)*(l-i+1); 20 for(int i=1,l;i<=n;i=l+1) 21 l=n/(n/i),res+=(n/i)*(make(l)-make(i-1)); 22 return ans-res; 23 } 24 int main(){ 25 mu[1]=1; 26 for(int i=2;i<N;i++){ 27 if(!vis[i])p[++tot]=i,mu[i]=-1; 28 for(int j=1;j<=tot&&p[j]*i<N;j++){ 29 vis[i*p[j]]=1; 30 if(i%p[j]==0)break; 31 mu[i*p[j]]=-mu[i]; 32 } 33 } 34 l=R(),r=R(); 35 printf("%lld\n",work(r)-work(l-1)); 36 return 0; 37 }
2019-03-20
