P3197 [HNOI2008]越狱

Description

有 $ \ n \ $ 个房间，每个房间有一个犯人

犯人可以信仰$ \ \ m \ \ $种宗教其中的一种

若相邻的房间犯人的信仰相同，就有可能发生越狱

求越狱的情况总数

Solution

发现直接求越狱的情况总数并不好求

运用容斥原理，越狱的情况总数 $ \ = \ $ 所有的情况 $ \ - \ $ 不越狱的情况

所有的情况为$ \ m^n \ $

不越狱的情况为$ \ m \ * \ (m \ - \ 1)^{(n \ - \ 1)}$

快速幂求解相减即可

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MOD = 100003;
typedef long long ll; 
ll n, m;


// 总共状态：每格有 m 种选择， 共有 n 格,总共排列组合的数量是 m ^ n   
// 合法状态： n 格 ，第一格有 m 种选择，第 2 ~ n 格有 (m - 1) 种选择  总数为 m * (m - 1) ^ (n - 1) 

// m ^ n  - m * (m - 1) ^ (n - 1)
// m * (m * (n - 1) - (m - 1) ^ (n - 1))

template <typename T>
void read(T &t) {
    t = 0; T m = 1; char ch = getchar();
    while(ch < '0' || ch > '9') { if(ch == '-') m = -1; ch = getchar(); }
    while(ch >= '0' && ch <= '9') { t = (t << 3) + (t << 1) + (ch & 15); ch = getchar(); }
    t *= m;
}

ll Pow(ll a, ll p) {
    ll ans = 1;  a %= MOD;
    while(p) {
        if(p % 2 == 1) ans = ans * a % MOD;
        a = a * a % MOD; p >>= 1; 
    }
    return ans % MOD;
}


int main() {
    read(m), read(n); 
    ll A = Pow(m, n), B = (Pow(m - 1, n - 1) * (m % MOD)) % MOD;
    printf("%lld\n", ((A + MOD) - B) % MOD);
    return 0;
}