动态规划求矩阵连乘

原创

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在科学计算中经常要计算矩阵的乘积。矩阵A和B可乘的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数。若A是一个p×q的矩阵，B是一个q×r的矩阵，

则其乘积C=AB是一个p×r的矩阵。由该公式知计算C=AB总共需要pqr次的数乘。其标准计算公式为：

 

现在的问题是，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}。其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。要求计算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An，最少的乘法次数。

递归公式：

 

 

import java.util.*;

public class 算法分析与设计3_2 {
    
    static void traceback(int i,int j,int s[][])
    {
        if(i==j)
            System.out.print("A"+i);
        else if (i==j-1)
            System.out.print("(A"+i+"A"+j+")");
        else
        {
            System.out.print("(");
            traceback(i,s[i][j],s);
            traceback(s[i][j]+1,j,s);
            System.out.print(")");
        }
     }

    
    static void min_Matrix(int matrix[][],int n,int m[][],int s[][]) {
        for(int i=1;i<=n;i++) {    //单个矩阵
            m[i][i]=0;
        }
        for(int r=2;r<=n;r++) {
            for(int i=1;i<=n-r+1;i++) {
                int j=i+r-1;
                m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+matrix[i][1]*matrix[i][2]*matrix[j][2];    //分为[i,i]和[i+1,j]两段
                s[i][j]=i;
                for(int k=i+1;k<j;k++) {    //分为[i,k]和[k+1,j]两段
                    int t=m[i][k]+m[k+1][j]+matrix[i][1]*matrix[k][2]*matrix[j][2];
                    if(t<m[i][j]) {
                        m[i][j]=t;
                        s[i][j]=k;
                    }
                }
            }
        }
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner reader=new Scanner(System.in);
        System.out.print("输入矩阵个数: ");
        int n=reader.nextInt();
        System.out.print("输入"+n+"个矩阵规模：");
        int matrix[][]=new int[n+1][3];
        int m[][]=new int[n+1][n+1];
        int s[][]=new int[n+1][n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++) {    //输入矩阵规模
            matrix[i][1]=reader.nextInt();
            matrix[i][2]=reader.nextInt();
        }
        min_Matrix(matrix,n,m,s);
        System.out.println(m[1][n]);
        System.out.print("序列：");
        traceback(1,n,s);
    }

}

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2018-10-15