〔面试题〕两整数的最大公约数与最大公倍数

一、最大公约数

方法(1)更相减损术
更相减损术是我国古代数学家求两个正整数最大公约数的算法。我们以求16,12两个数的最大公约数为例加以说明。用两数中较大的数减去较小的数，即16-12=4，用差数4和较小的数12构成一对新数，对这一对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下支，直到产生一对相等的数，这个数就是最大公约数：(16,12)→(4,12)→(8,4)→(4,4)，4就是最大公约数

应用:

 1 #include <iostream>
 2 #include <math.h>
 3 using namespace std;
 4 
 5 int gcd(int a, int b)
 6 {
 7     if(a == b)
 8         return a;
 9 
10     int m = abs(a - b);
11     int n = a < b ? a : b;
12     return gcd(m, n);
13 }
14 
15 int main()
16 {
17     int a = 12;
18     int b = 15;
19 
20     cout << gcd(a, b) << endl;
21 
22     return 0;
23 }//3

方法(二)辗转相除法
「辗转相除法」又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd.所谓最大公因数,是指几个数的共有的因数之中最大的一个,例如 8 和 12 的最大公因数是 4,记作 gcd(8,12)=4.
在介绍这个方法之前,先说明整除性的一些特点,注以下文的所有数都是正整数,以后不再重覆.
我们可以这样给出整除以的定义:
对於两个自然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,而 a 是 b 的倍数.
那麼如果 c | a,而且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数.
由此,我们可以得出以下一些推论:
推论一:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.
推论二:如果 a | b 以及 a | c,则 a | (b±c).因为由 a | b 以及 a | c,可知 ha=b,ka=c,二式相加,得 (h+k)a=b+c,即 a | (b+c).同样把二式相减可得 a | (b-c).
推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由於 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b.
辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时尤其有用而且应用在电脑程式上也十分简单.其理论如下:
如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r)
证明是这样的:
设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)
则有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(这是由推论一及推论二得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b
又 b | r 及 b | n,所以 b | (nq+r),即 b | m 及 b | n,所以b | a.因为 a | b 并且 b | a,所以 a=b,即 gcd(m,n)=gcd(n,r).
例如计算 gcd(546, 429),由於 546=1(429)+117,429=3(117)+78,117=1(78)+39,78=2(39),因此
gcd(546, 429)
=gcd(429, 117)
=gcd(117, 78)
=gcd(78, 39)
=39
应用:

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 
 4 int gcd(int m, int n)
 5 {
 6     if(a % b == 0)
 7         return b;
 8 
 9     int r = a % b;
10     return gcd(n, r);
11 }
12 
13 int main()
14 {
15     int m = 12;
16     int n = 16;
17 
18     cout << gcd(m, n) << endl;
19 
20     return 0;
21 }//4

二、最大公倍数

两个整数ｍ, n:
最大公倍数　= m ×n /ｍ和n的最大公约数

1 int main()
2 {
3     int a = 12;
4     int b = 15;
5 
6     cout << a * b / gcd(a, b) << endl;
7 
8     return 0;
9 }