张量积笔记加心得（2）

矩阵的张量积

我们从线性映射的角度入手。

现在有 \(U,U',V,V'\)，是有限维的线性空间，\(\mathcal{A}\in Hom(U,U'),\mathcal{B}\in Hom(V,V')\) .我们合理定义 \(\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}\in Hom(U\otimes V,U'\otimes V')\)，by \(\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}(u\otimes v)=\mathcal{A}(u)\otimes \mathcal{B}(v)\) . 接下来我们来细看\(\mathcal{A}\otimes \mathcal{B}\) 长什么样。

首先假设 \(U\) 一组基为\(\{u_1,u_2,\cdots,u_n\}\) ，\(U\) 的基为 \(\{u_1',\cdots,u_t'\},\)\(V\) 的基为 \(\{v_1,\cdots,v_m\}\)\(V'\) 的基为 \(\{v_1',\cdots,v_s'\}\) 。那么我们有 \(\mathcal{A}(u_1,\cdots,u_n)=(u_1',\cdots,u_n')A\)，\(\mathcal{B}(v_1,\cdots,v_n)=(v_1',\cdots,v_n')B\)， 因为有 \(u_i\otimes v_j\) 是 \(U\otimes V\) 的一组基，以及 \(u_i'\otimes v_j'\) 是 \(U'\otimes V'\) 的一组基。我们有 \(\mathcal{A}\otimes \mathcal{B} (u_1\otimes v_1,\cdots ,u_n\otimes v_m)=(u_1'\otimes v_1',\cdots,v_s'\otimes v_t')A\otimes B\), 而由定义，我们有 \(\mathcal{A}\otimes \mathcal{B} (u_1\otimes v_1,\cdots ,u_n\otimes v_m)=(\mathcal{A}u_1\otimes \mathcal{B}v_1,\cdots,\mathcal{A}u_n\otimes \mathcal{B}v_m)\)

而我们有 \(\mathcal{A}u_i\otimes \mathcal{B}v_j=(\sum a_{ip}u_p')\otimes (\sum b_{jq}v_q')=(u_1'\otimes v_1',\cdots,u_s'\otimes v_p')A\otimes B\)，所以有\(A\otimes B=\begin{bmatrix} a_{11}B&\cdots&a_{1t}B\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}B&\cdots &a_{nt}B\end{bmatrix}\) .不过实际上这只是选取了一种特殊的基下对应的矩阵，通过选取不同的基我们也能有不同的矩阵表示，不过这种表示是形式上最简便的，于是就这么定义了。

在这么定义后，我们看看这种运算有什么性质：

Prop

1.\((A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C)\)

2.\((A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD\)（前提是\(A\)和\(C\),\(B\)和\(D\)能做乘法）

Proof:

1.按定义我们有 \((A\otimes B)\otimes C(u\otimes v\otimes w)=(A\otimes B)(u\otimes v)\otimes C(w)=A(u)\otimes B(v)\otimes C(w)=A\otimes(B\otimes C)(u\otimes v\otimes w)\)

2.同样按定义我们有\([(A\otimes B)(C\otimes D)](u\otimes v)=(A\otimes B)(C(u)\otimes D(v))=AC(u)\otimes BD(v)=(AC\otimes BD)(u\otimes v)\)

Prop.2

\(A,B\)为方阵时有

1.\(\det(A\otimes B)=|A|^m|B|^n\)

2.\(tr(A\otimes B)=tr(A)tr(B)\)

3.\(A\) 特征值为 \(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\),\(B\) 特征值为\(\mu_1,\mu_m\) ，那么 \(A\otimes B\) 的特征值为 \(\lambda_i\mu_j\) .

Proof:

我们证明3，前面两条性质可由3直接推出。

按定义有 \((A\otimes B)(a_i\otimes b_j)=(Aa_i)\otimes (Bb_j)=\lambda_i a_i\otimes \mu_jb_j=\lambda_i\mu_j(a_i\otimes b_j)\)