新学张量积的笔记整理加一点心得
张量积（tensor product）
引入：我们已经了解了从线性空间\(U\)到\(V\)的所有线性映射\(\sigma\)组成的线性空间。那么思考这样一个问题：现在有三个线性空间\(U,V,W\)，我们要考虑从\(U\times V\)到\(W\)的线性映射，即\(L(U\times V,W)=\{\sigma\}\)，其中\(\sigma\)满足\(\forall u_1,u_2,u\in U,v_1,v_2,v\in V,k\in F\)
是不是有点像双线性型？区别在于将考虑了不止一个双线性型，以及输出不是个数，是个向量。（好吧其实输出是啥并不重要？）
*这玩意儿叫双线性映射来着。。
补充一条性质（很显然。。但不知道为啥我看这玩意儿的时候一下子忘了）：\(\sigma(u,0)=\sigma(0,v)=0\)
既然考虑的不止一个，那么这些之间的关系（为了凑线性空间）有：
于是我们(强硬地)构造出了这么一个空间，那么它的维数是？因为是\(U\times V\)，所以是\(n+m\)维空间咯？（令\(\dim U=n,\dim V=m\)）其实不是。。（废话是的话也不用再单独考虑了）
不妨取\(n=m=1\)那么有\(U=V=R\)，不妨令\(W\)也为\(R\)好了（从上面的限制来看，\(W\)其实是任意的）。然后我们可以从中任意找一个\(\sigma\)，如果有\(\sigma(1,1)=t\)那么有\(\sigma(u,v)=u\sigma(1,v)=uvt\).于是所有\(\sigma\)对应了唯一的一个\(t\)，换句话说，这个\(L\)其实是1维的。
于是我们猜测，这玩意儿是\(nm\)维的。。为了让它看起来“显然”一点，我们希望找到一个\(Hom(X,W)\)与它同构。\(X\)是我们要去找的空间。
先来看看X有哪些性质：
首先因为有\(u,v\)两个因素，所以X中肯定包含有\(u,v\)，我们不妨写成\((u,v)\)的形式，看成\(F[U\times V]\)，即以\(U\times V\)线性张成的空间。注意这里所有的(u,v)定义为一个基向量，没有所谓的\((u_1+u_2,v_1+v_2)=(u_1,v_1)+(u_2,v_2)\)和\(k(u,v)=(ku,kv)\)，然后\(F[U\times V]\)是由这里面所有的基向量线性张成的线性空间。（显然是无穷维的）
我们令\(\sigma\in Hom(X,W)\)，那么\(\sigma(u,v)=w\)，且\(\sigma\)同样满足1-5条。而我们希望让\(Hom\)的\(Ker\)为\(\{0\}\)，那么\(X\)就不可以直接等于\(U\times V\)，而需要让它商掉映射为\(0\)的子空间\(I\)，即由\((u_1+u_2,v)-(u_1,v)-(u_2,v) , (u,v_1+v_2)-(u,v_1)-(u,v_2) , k(u,v)-(ku,v) , k(u,v)-(u,kv)\)，其中\(u,u_1,u_2\in U,v,v_1,v_2\in V,k\in F\)，所有这些向量张成的线性空间（显然也是无穷维）。令\(X=(U\times V)/I\)，那么就是我们需要的空间，记作\(U\otimes V\)。显然\(X\)就是我们需要找的空间，因为\(Hom(X,W)\)（通过强行商掉某个空间）满足1-3条性质，由\(Hom\)本身的性质所以满足4-5。我们同时定义\(u\otimes v=(u,v)+I\).
不妨看一看\(\otimes\)有什么性质。看上去好像可以有线性：1.\((u_1+u_2)\otimes v=(u_1+u_2,v)+I\)(因为有\((u_1+u_2,v)-(u_1,v)-(u_2,v) \in I\),)\(=(u_1,v)+(u_2,v)+I=u_1\otimes v+u_2\otimes v\)，同理也有2.\(u\otimes(v_1+v_2)=u\otimes v_1+u\otimes v_2\) 。
以及3.\((ku)\otimes v=k(u\otimes v)=u\otimes (kv)\) 由\(k(u,v)-(ku,v)\in I\)和\(k(u,v)-(u,kv)\in I\)成立。
于是顺其自然，有
Thm.1如果\((u_1,\cdots,u_m)\)是空间\(U\)的一组基，\((v_1,\cdots,v_n)\)是空间\(V\)的一组基，那么有\((u_i\otimes v_j)\)是\(U\otimes V\)的一组基。
证明：显然。。。有\(\forall u\otimes v=(\sum k_iu_i)\otimes (\sum t_iv_i)=\sum k_i t_j u_i\otimes v_j\).
所以有\(\dim(U\otimes V)=mn\)即最初构造的\(L\)是\(mn\)维的。
所以对两个空间做张量积是在做啥？相当于是将分别在各自空间存在的线性关系组合起来。我们可以用所有\(m\times n\)的矩阵构成的空间来表示\(U\otimes V\)，方法是\(A\in F^{m\times n}\),对应\(a=\sum a_{ij}u_i\otimes v_j\)。至于这究竟是个怎么样的向量。。不知道（是不是向量我都不知道
显然由构造\(U\otimes V\)的方法，我们有
Thm.2\(L(U\times V,W) \cong Hom(U\otimes V,W)\)
Hint 定义\(\overset {\sim} {f}(\sum u_i\otimes v_j)=\sum f(u_i,v_j)\)
Prop.1\(Hom(U\otimes V,W)\cong Hom(U,Hom(V,W))\)
由Thm.2，且注意到从\(U\times V\)到\(W\)的双线性映射是\((u,v)\)共同决定了一个\(w\)，那么我们也可以看做是\(u\)决定了一个\(v\)到\(w\)的映射。线性性显然。得证。
Prop.2 \((\bigoplus U_i)\otimes V\cong \bigoplus (U_i\otimes V)\)
通过矩阵来看的话就相当于把多个矩阵竖着拼起来。
Prop.3 \((U\otimes V)\otimes W\cong U\otimes (V\otimes W)\)
略
那么下面考虑稍稍一点复杂的东西：
\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)\)和\(Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\).
我们好像还没定义过\(Hom\)之间的tensor product，不过照着线性空间的理解，给两个\(Hom\)分别找一组基，然后tensor一下就好了。（反正\(Hom\)也是个线性空间，嗯）
稍稍考虑一下的话能发现左边的\(Hom\)是由\((u_1,u_2,v_1,v_2)\)四个毫无关联的向量来确认的，而右边的是通过两个\(Hom\)的组合，一个与\(u_1,v_1\)有关，一个与\(u_2,v_2\)有关，显然这四个之间还是毫无关联。所以两边的维数显然相等。
Thm.3\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2) \cong Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\).
严谨点来说，取\(f_1\in Hom(U_1,V_1),f_2\in Hom(U_2,V_2)\)，定义\((f_1\otimes f_2)(u_1\otimes u_2)=f_1(u_1)\otimes f_2(u_2)\) 可以看出这是一个自然的将\(Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\)嵌入到\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)\)里去的方法。
如果我们取\(U\)一组基\((u_1，\cdots,u_m)\)，\(U=\bigoplus Fu_i\)，类似令\(V=\bigoplus Fv_i,(1\leq i\leq n)\)。那么有\(Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2.V_2)=(\bigoplus_{i=1}^m\bigoplus_{j=1}^nHom(Fu_i,Fv_j))\otimes Hom(U_2,V_2)\) \(\cong Hom(U_2,V_2)\oplus\cdots\oplus Hom(U_2,V_2)\)共\(mn\)个
\(Hom(U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)=Hom (U_1\otimes U_2,V_1\otimes V_2)=Hom(\bigoplus(Fu_i\otimes U_2),\bigoplus(Fv_i\oplus V))\) \(=\bigoplus\bigoplus Hom(Fu_i\otimes U_2,Fv_j\otimes V_2)\cong Hom(U_2,V_2)\oplus\cdots\oplus Hom(U_2,V_2)\)
于是二者相等。
注意到这证明取了空间的维数，所以有无限维的时候不一定成立。
Coro.1：\((U_1,V_1),(U_2,V_2),(U_1,U_2)\)其中的某一对如果维数有限，那么有\(Hom(U_2\otimes U_1,V_1\otimes V_2) \cong Hom(U_1,V_1)\otimes Hom(U_2,V_2)\)。
有自然映射\((f\times g)(u_2\otimes u_1)=f(u_1)\otimes g(u_2)\)
Coro.2 \(U_1^{*}\otimes U_2^*\cong (U_2\otimes U_1)^*\)
注意到\(U^*\)和\(Hom(U,F)\)是一回事
Coro.3 \(U\otimes V^*\cong Hom(V,U)\)
通过构造\(\sigma(u\otimes f)(v)=f(v)u\)
Coro4.\(U,U',V,V'\)四个有限维空间，有\(U'\otimes U^*\otimes V'\otimes V^*\cong U'\otimes V'\otimes U^*\otimes V^*\cong U'\otimes V'\otimes (V\otimes U)^*\cong Hom(V\otimes U,U'\otimes V')\cong Hom(U,U')\otimes Hom(V,V')\)
evaluation map : \(e_v: V^*\otimes V \rightarrow k, f \otimes v \mapsto f(v)\)这是个同态而非同构。
通过这个同态，我们有：
Prop 4 \(U,V,W\) 为线性空间，那么有
\(W\otimes V^*\otimes V\otimes U^*\longrightarrow W\otimes U^*\longrightarrow W\otimes U^*\)，这里第一个是同态，第二个是同构。
\(W\otimes V^*\otimes V\otimes U^*\longrightarrow Hom(V,W)\otimes Hom(U,V) \longrightarrow W\otimes U^*\)，这里第一个是同构，第二个是同态。
于是有两种同态商掉的“核”（？）同构。至于第二个商掉的“核”长啥样。。不知道（
Duality and traces \(V\)有限维，\(\{e_1,\cdots,e_n\}\)为一组基，\(\{e_1^*,\cdots,e_n^*\}\)为对偶空间的一组基。我们有 \(V\otimes V^*\cong End_V ,by\;\; (v\otimes f)(u)=f(u)v\)，for any \(u\in V\).
因为有\(\mathcal{A}(e_1,\cdots ,e_n)=(e_1,\cdots,e_n)A\),\(\mathcal{A}e_i=\displaystyle\sum_{j=1}^n a_{ij}e_j\).而同时，我们考虑到\(V\otimes V^*\cong End_v\)，那么取\(e_i\otimes e_j^*\)在\(End_v\)中对应的元素作为一组基，记为\(\sigma_{ij}\)，于是按照同构的对应法则，\(\mathcal{A}\)在这组基下的坐标为\(b_{ij}\)，即\(\mathcal{A}=\sum b_{ij}(e_i\otimes e_j^*)\)，那么\(\mathcal{A}e_k=\sum b_{ij}(e_i\otimes e^*_j)(e_k)=\sum b_{ij} e^*_j(e^k)e_i=\displaystyle\sum_{i=1}^n b_{ik}e_i\)（因为有\(e_i^*(e_j)=\delta_{ij}\)）然后和上面的定义做一下对比，我们就有\(a_{ij}=b_{ij}\)。
特别的，\(id\)（恒等映射）\(=\sum e_i\otimes e_i^*\)
所以这玩意儿相当于是给原本没有实际意义的\(\mathcal{A}\)通过添加了一个没有意义（bushi）的基使得\(\mathcal{A}\)和\(A\)真正联系了起来。
于是又可以定义：
coevaluation map \(\delta_v:F\rightarrow V\otimes V^*,1\mapsto \sum e_i\otimes e_i^*\)
显然这里不是满射，这里只是把\(F\)嵌到\(V\otimes V^*\)里面去了。\(c\in F\)，那么有\(c\mapsto \sum ce_i\otimes e_i^*\)，然后便有
Prop 5
\(V\cong F\times V\rightarrow(V\otimes V^*)\otimes V\cong V\otimes (V^*\otimes V)\rightarrow V\)
\(V^*\cong V^*\times F\rightarrow V*\otimes (V\otimes V^*)\cong (V^*\otimes V)\otimes V^*\rightarrow V^*\)
看起来就像是换个了次序的小魔法，不过我们可以细究一下，就比如：
令\(u\in V.u=\sum k_ie_i\)，
那么在第一条链里有\(u \mapsto (\sum e_i\otimes e^*_i)\otimes u\mapsto \sum e_i\otimes (e_i^*\otimes u)\mapsto\sum e_i\otimes k_i=u\) （P,S.我们最开始乘了个\(F\)，所以理论上最后映射到的应该是\(cu\)，不过默认\(c\)取1了）
第二条链同理。
取\(V=F\)，我们有：
Prop 6
\(\mathcal{A}\)是\(V\otimes V^*\cong End_v\)中的一个线性映射，那么\(tr(A)\)可以表示为：
\(F\rightarrow(V\otimes V^*)\cong (\mathcal{A}V)\otimes V^*\cong V^*\otimes (\mathcal{A}V)\rightarrow F\)
\(1\mapsto \sum e_i\otimes e_i^*\rightarrow\sum\mathcal{A}e_i\otimes e_i^*=\sum e_i^*\otimes(\sum a_{ji}e_j)=\sum \sum(a_{ji} e_i^*\otimes e_j)=\sum a_ii=tr(\mathcal{A})\)
确实每个给定的\(\mathcal{A}\)在这一系列的同态/同构下能跑到\(tr(\mathcal{A})\)（就是好麻烦啊。）
最后一个例子：
\(\mathcal{A}\)是从\(U\)到\(V\)的一个映射，\(A^*\)是从\(V^*\)到\(U^*\)的一个映射，那么我们可以有：
\(V^*\rightarrow V^*\otimes U\otimes U^*\cong V^*\otimes (\mathcal{A}U)\otimes U^*=V^*\otimes V\otimes U^*\rightarrow U^*\)
令\(f\in V^*\)，有\(f\mapsto f\otimes(\sum e_i\otimes e_i^*)\rightarrow f\otimes(\sum \mathcal{A}e_i\otimes e_i^*)\mapsto\sum f(\mathcal{A}e_i)\otimes e_i^*=\sum f(Ae_i)e_i^*=A^*f\)
