数组中求第K大数

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问题:有一个大小为n的数组A[0,1,2,…,n-1],求其中第k大的数。

该问题是一个经典的问题,在《算法导论》中被作为单独的一节提出,而且其解决方法很好的利用了分治的思想,将时间复杂度控制在了O(n),这多少出乎我们的意料,此处暂且不表。

该问题还可以变形为:有一个大小为 n的数组A[0,1,2,…,n-1],求其中前k大的数。

一字之差,原问题是“第k大”,变形的问题是“前k大”,但是平均时间复杂度却都可以控制在O(n),这不由得让人暗暗称奇。

 

我们先分析原问题:有一个大小为 n的数组A[0,1,2,…,n-1],求其中第k大的数。

我们先取特例,令k=1,那么就是取最大的数,只要扫描一遍数组就可以确定该值,如果k=2,则扫描两边数组就可以确定第二大的数,依此类推下去,时间复杂度是O(k*n),如果k跟n是一个数量级,那么时间复杂度就是O(n*n)了,显然不是最优的解法。

 

考虑分治法,难点在于如何将该问题分解为两个子问题。

快速排序最基础的一步:

随机取某一个数x,将其与数组末尾元素交换,然后将比其小的数交换至前,比其大的数交换至后。

这一步使某一数组的快速排序问题分解成两个子数组的排序问题,现在我们就依此来解决取第k大的数这个问题。

设数组下表从0开始,至n-1结束。

1、 随机取某个数,将其与数组末尾元素交换。

a) idx=rand(0,n-1);生成[0,n-1]间的随机数。

b) Swap(array[idx], array[n-1]);

2、 用末尾元素x,将比x小的数交换至前,比x大的数交换至后,并返回此时x在数组中的位置mid。

3、 如果mid==n-k,那么返回该值,这就是第k大的数。

如果mid>n-k,那么第k大的数在左半数组,且在左半数组中是第k-(n-mid)大的数。

如果mid<n-k,那么第k大的数在右半数组,而且仍然是第k的数。

方法一:

方法二:

  1. #include "iostream"
  2. using namespace std;
  3. int random_partion(int *p, int n)
  4. {
  5. int idx=rand()%n;
  6. swap(p[idx], p[n-1]);
  7. int i=-1; //i表示最后一个小于p[n-1]的元素的位置
  8. int j=0; //j用来扫描数组
  9. for(j=0; j<n; j++)
  10. {
  11. //将小于p[n-1]的数交换到前半部分
  12. if(p[j]<p[n-1])
  13. {
  14. swap(p[++i], p[j]);
  15. }
  16. }
  17. swap(p[++i], p[n-1]);
  18. return i;
  19. }
  20. int getMaxK(int *p, int n, int k)
  21. {
  22. int mid;
  23. if(k<=0)
  24. return -1;
  25. if(n<k)
  26. return -1;
  27. mid=random_partion(p, n); //对原数组进行一次划分
  28. if(mid == n-k) //如果mid==n-k,那么返回该值,这就是第k大的数
  29. return p[mid];
  30. else if(mid<n-k)
  31. return getMaxK(p+mid+1, n-mid-1, k); //如果mid<n-k,那么第k大的数在右半数组,而且仍然是第k大数
  32. else
  33. return getMaxK(p, mid, k-(n-mid)); //如果mid>n-k,那么第k大的数在左半数组,且在左半数组中是第k-(n-mid)大的数
  34. }
  35. int main(void)
  36. {
  37. int num,a[] = {12012, 3, 945, 965, 66, 232, 65, 7, 8, 898, 56, 878, 170, 13, 5};
  38. num=getMaxK(a, 15, 4);
  39. printf("%d\n",num);
  40. system("pause");
  41. return 0;
  42. }

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feifei at 2013-3-18 13:39:04.168 do it

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posted @ 2013-04-28 14:17  Suzuki.kakeru  阅读(256)  评论(0编辑  收藏  举报