算法导论-13.贪心算法
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算法导论-13.贪心算法
与动态规划类似，贪心算法也将问题化简为规模较小的子问题，并通过递归解决子问题来获取整个问题的解。不同的是，贪心问题不对子问题进行比较，而是只生成一个非空的子问题，而使选择在当时看上去是最优的（即“贪心”的含义）。
活动选择问题
几个互相竞争的活动都要求以独占的方式占用某个公用资源（如选修课程对个人可支配时间的要求，或会议对会议室的要求），每个活动都有开始时间和结束时间。如何安排活动，使在总时间内开展的活动次数最多？形式化的，一组活动组成的集合 S=a1,a2...an ，每一个活动 ai 都有开始时间 si 和结束时间 fi 。求一组互相兼容的活动的最大子集合 S′。
贪心算法：
将所有活动按照结束时间排序，得到新的 S，首先选取结束时间最小 a1 的加入解 S′，然后检查 a2 ，如果 a2 的开始时间大于当前已加入解的所有活动（目前就一个 a1）的结束时间，那么就舍弃之，否则将其加入解 S′ ，再检查 a3，以此类推。
能够证明，贪心算法获取的是全局最优解：
我们可以说，在排序后的 S，第一个活动 a1（结束时间最早的活动）一定在最优解 S′ 中。为什么呢？因为假设 S′ 不包含 a1，那么一定包含一个与 a1 不兼容的 ai ，是吧？（如果这都不能满足，直接向 S′ 中加入 a1 ，得到的新子集就比 S′ 多了一个元素，那么 S′ 就不是最优解了）然后，我们可以断言，从 S′ 去掉 ai 再加上 a1，S′ 仍然是最优解。
为什么呢？因为 a1 的结束时间是最早的，所以 ai 与 a1 不兼容的方式只能是：ai 的开始时间比 a1 结束时间早（但结束时间比 a1 结束时间晚），而且因为 S′ 中除了 ai 的其他活动都与 ai 兼容（理所当然，否则 S′ 连解都不是，何谈最优解？），这些其他活动都会出现在 ai 后面（也就是这些活动的开始时间比 ai 的结束时间晚），而不是前面。如果出现在前面呢？ 拜托，如果这些活动在 ai 前面，那么这些活动的结束时间比 ai 的开始时间早，也就是比 a1 的结束时间早。这怎么可能呢？a1 就是S 中具有最早结束时间的活动了啊。
原理说起来拗口，实现做起来却相当简单：
class actvty{ public: actvty(double start, double end, int id):_start(start),_end(end),_id(id){} const double getStart() const {return _start;} const double getEnd() const {return _end;} const int getId() const {return _id;} bool operator<(const actvty& tmp) const {return getEnd()<tmp.getEnd();} private: double _start; double _end; int _id; }; std::vector<actvty> slctn(std::vector<actvty>& all){ std::sort(all.begin(), all.end()); std::vector<actvty> rslt; double start = 0; for (int i=0; i<all.size(); i++){ if (all[i].getStart() >= start){ rslt.push_back(all[i]); start = all[i].getEnd(); } } return rslt; }
练习16.1-3 假设用多个资源对一组活动进行调度，我们希望使用尽可能少的资源来满足所有活动要求。
思路：和活动选择问题类似，只不过当一个活动不能被（当前开辟的资源）满足时，我们不是将它舍弃，而是新开辟一个资源供其使用。
0-1背包问题
窃贼在偷窃一家商店时发现有 n 件物品 S=a1,a2...an ，每一件物品 ai 都有其价值 vi 和重量 wi ，作为一个有尊严的窃贼，他曾发誓每次只偷最多 W 重量的货物，那么如何在不违背誓言的情况下，从赃物中获得最大的价值？
贪心算法：
将所有物品按照 vi/wi 值（姑且称为“单价”吧）排序，然后先拿单价最高的，然后拿单价次高的，如果拿到一个物品后超重了，那就舍弃它并继续上述过程，直到商店里所有剩下物品中的任意一件都会使盗贼的赃物超重。
0-1背包问题是NP的，所以贪心算法不保证最优解。一个简单的例子就是：窃贼只偷取 10kg 物体，商店里只有两件物品，一件1kg，价值20元，单价20，另一件9.5kg，价值950元，单价10元。如果窃贼遵循贪心算法，就不能获得最优解了。
习题16.2-4 某教授驾车从 A 地到 B 地，总里程数确定。油箱中的汽油能支持的里程也是确定的，途中有若干个加油站。教授希望加油的次数尽量少，请确定需要加油的加油站，支持教授的车驶完全程。（假设教授出发时邮箱是满的）。
贪心算法：当途径某个加油站时，只有当油箱中的油已经不足以撑到下一个加油站时，才去加满油。
这个算法可以证明是最优的，即假设加油站序列为 S=s1,s2...sn，贪心解中的第一个加油站为 si 一定在最优解中。如果 si 不在最优解中，那么最优解中一定有一个加油站 sp 在 si之前，否则车开不到 si+1 。假设最优解中的第二个加油站为 sq ，那么从最优解中去掉 sp 加上 sq 仍然是最优解。
习题16.2-7 两个集合 A 和 B ，各有 n 个正整数，你可以按照自己的意愿对其进行排序。重新排序后，设 ai 为 A 中的第 i 个元素，bi 为 B 中的第 i 个元素。请排序元素，使 ∏abii最大。
思路：全部递增排序就是。证明也很简单，就是证明当 a1>b1 且 a2>b2 时（当然都是正整数啊），ab11>ab22 。
