蒙提霍尔问题

　　蒙提霍尔问题，亦称为蒙特霍问题或三门问题（英文：Monty Hall Problem），是一个源自博弈论的数学游戏问题，大致出自美国的电视游戏节目“Let's Make a Deal”。问题的名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔（Monty Hall）。
　　这个游戏的玩法是：参赛者会看见三扇关闭了的门，其中一扇的后面有一辆汽车，选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车，而另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门，但未去开启它的时候，节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇，露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是：换另一扇门是否会增加参赛者赢得汽车的机率？如果严格按照上述的条件的话，答案是会。换门的话，赢得汽车的机率是2/3。
　　这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论：虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾，但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。
　　问题与解答
　　问题
　　以下是蒙提霍尔问题的一个著名的叙述，来自 Craig F. Whitaker 于1990年寄给《展示杂志》（Parade Magazine）玛莉莲·莎凡（Marilyn vos Savant）专栏的信件：
　　假设你正在参加一个游戏节目，你被要求在三扇门中选择一扇：其中一扇后面有一辆车；其余两扇后面则是山羊。你选择了一道门，假设是一号门，然后知道门后面有什么的主持人，开启了另一扇后面有山羊的门，假设是三号门。他然后问你：“你想选择二号门吗？”转换你的选择对你来说是一种优势吗？
　　以上叙述是对 Steve Selvin 于1975年2月寄给 American Statistician 杂志的叙述的改编版本。如上文所述，蒙提霍尔问题是游戏节目环节的一个引申；蒙提·霍尔在节目中的确会开启一扇错误的门，以增加刺激感，但不会容许玩者更改他们的选择。如蒙提·霍尔寄给 Selvin 的信中所写：
　　如果你上过我的节目的话，你会觉得游戏很快—选定以后就没有交换的机会。
　　—(letsmakeadeal.com)
　　Selvin 在随后寄给 American Statistician 的信件中(1975年8月) 首次使用了“蒙提霍尔问题”这个名称。
　　一个实质上完全相同的问题于1959年以“三囚犯问题”（three prisoners problem）的形式出现在马丁·葛登能（Martin Gardner）的《数学游戏》专栏中。葛登能版本的选择过程叙述得十分明确，避免了《展示杂志》版本里隐含的前提条件。
　　这条问题的首次出现，可能是在1889年约瑟夫·贝特朗所著的 Calcul des probabilités 一书中。 在这本书中，这条问题被称为“贝特朗箱子悖论”（Bertrand's Box Paradox）。
　　Mueser 和 Granberg 透过在主持人的行为身上加上明确的限制条件，提出了对这个问题的一种不含糊的陈述︰
　　参赛者在三扇门中挑选一扇。他并不知道内里有什么。
　　主持人知道每扇门后面有什么。
　　主持人必须开启剩下的其中一扇门，并且必须提供换门的机会。
　　主持人永远都会挑一扇有山羊的门。
　　如果参赛者挑了一扇有山羊的门，主持人必须挑另一扇有山羊的门。
　　如果参赛者挑了一扇有汽车的门，主持人随机在另外两扇门中挑一扇有山羊的门。
　　参赛者会被问是否保持他的原来选择，还是转而选择剩下的那一道门。
　　转换选择可以增加参赛者的机会吗？
　　解答
　　问题的答案是可以：当参赛者转向另一扇门而不是继续维持原先的选择时，赢得汽车的机会将会加倍。
　　有三种可能的情况，全部都有相等的可能性(1/3)︰
　　参赛者挑山羊一号，主持人挑山羊二号。转换将赢得汽车。
　　参赛者挑山羊二号，主持人挑山羊一号。转换将赢得汽车。
　　参赛者挑汽车，主持人挑两头山羊的任何一头。转换将失败。
　　在头两种情况，参赛者可以通过转换选择而赢得汽车。第三种情况是唯一一种参赛者通过保持原来选择而赢的情况。因为三种情况中有两种是通过转换选择而赢的，所以通过转换选择而赢的概率是2/3。
　　如果没有最初选择，或者如果主持人随便打开一扇门，又或者如果主持人只会在参赛者作出某些选择时才会问是否转换选择的话，问题都将会变得不一样。例如，如果主持人先从两只山羊中剔除其中一只，然后才叫参赛者作出选择的话，选中的机会将会是1/2。
　　另一种解答是假设你永远都会转换选择，这时赢的唯一可能性就是选一扇没有车的门，因为主持人其后必定会开启另外一扇有山羊的门，消除了转换选择后选到另外一只羊的可能性。因为门的总数是三扇，有山羊的门的总数是两扇，所以转换选择而赢得汽车的概率是2/3，与初次选择时选中有山羊的门的概率一样。
　　补充说明：
　　三个门的问题关键之处在于： 参赛者（选门者）事先是不是已经知道这个游戏中主持人会在选定一个门之后给你打开剩下的门里其中的一扇空门，如果参赛者在开始选择之前就知道这是个必然程序，那么肯定选转换！因为这样做下来，从知道这些以上信息后（主持人将会开剩下的一个空门）开始选门，到最终答案公布，这个过程确实转换后比不转换概率大。因为相当于：假设你肯定换门，只要你最初选择的是空门（概率三分之二），换门后你就会有汽车，你最初选到汽车（概率三分之一），最后都才会没有汽车。所以说这些限制条件（主持人知道答案，必然会在选择后给你打开一个空门，而你在玩游戏之前就必须知道这一切），已经把这个事件的概率转换了。
　　第一次选的空门（概率66.6%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车
　　第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车
　　这里影响到结果的概率问题只发生在第一次选门上，如果条件如上设置，当一开始的门选定后，事件的结果也就决定了，所以这里不存在之后主持人是选择1号空门，还是2号空门的问题，所以在做概率计算是不考虑主持人的选择。如果也要考虑主持人的话：
　　第一次选的空门1（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。 事件总概率 33.3%
　　第一次选的空门2（概率33.3%），之后主持人开另一个空门，换门，得到汽车。 事件总概率 33.3%
　　第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门1（概率50%），换门，得到汽车 这个事件总概率 33.3%*50%=16.65%
　　第一次选的汽车（概率33.3%），之后主持人开另一个空门2（概率50%），换门，得到汽车 这个事件总概率 33.3%*50%=16.65%
　　****主持人选1号空门还是2号空门打开，这里有个主持人的选择概率，我假设的是主持人随机选择（抽签或者随意），所以各给了50%的概率，如果主持人就是喜欢1号空门，必开1号，那么也就成了1号（100%），2号（0%）了，最后结果并不影响。
　　所以开始选中汽车，最后换门不得奖的概率是33.3%，开始选中空门，换门最后得奖的概率是66.6%
　　至于所说的换门之后50%的概率其实也没有错，那是作为开一扇门以后那个时间点来说的，假设参赛者在主持人开一个空门后被洗脑，或者压根就不知道这个规则，或者主持人开空门之后参赛者被告知这个规则，这些作为参赛者自己来想，概率才会是50%。
　　其实这个问题根本就不复杂，大家无论说50%还是66.6%都没有错，因为驳论的关键就在整个事件的条件设置上！只是多数人不在意提问的所基于的整个条件设置，或者提出这个问题的人没有强调或者交代清楚整个设置，所以才很容易出现不一样的理解和答案。关键还是在于条件混淆了大家思考的逻辑的起始点还有时间点