傅里叶展开为什么要求函数有周期性

 

  

 傅里叶级数展开是针对有限区间，而不是周期。课本上写的周期其实是方便运算而已，有限区间上面的表示方法可以由简单的三角函数基函数表示。因为级数展开是在一个有限的时间段内对函数进行分解，然后用一系列正弦和余弦函数的线性组合来表示这个有限区间函数（或者说有限区间上面也可以周期延拖到R上）。因此，如果函数不是有限的（或者说周期性）的，那么它在整个实数轴上就没有明确定义的周期，这将导致无法应用傅里叶级数展开。
  傅里叶变换是对整个实数轴上的函数进行分析，而不要求函数具有周期性。它将一个函数转换到频率域，表示了该函数在各种频率上的成分。非周期信号函数通过傅里叶变换进行分析，而不需要进行周期延拓。傅里叶变换是一种在整个实数轴上对函数进行分析的方法，可以将函数表示为频率域上的复数函数。通过傅里叶变换，我们可以得到信号的频谱信息，。

如果函数没有周期，或者是定义在广义的R上面，就要视为周期为无穷的极限情况

 此时研究的对象不再是有限区间，而是R,就变成了傅里叶变换

有限区间的级数展开不需要周期延拓

但是假设一个函数在R上绝对可积，并且在R上任何闭区间 连续分段可导。那这个函数无论是否为周期，都可以傅里叶变换