p67交换幺环为整环的充要条件

如何理解并且证明这个定理？谢谢

 

 

(0)是素理想，也是就是说，只要ab∈(0)就有a∈(0)或者b∈(0)

这等价于说
ab=0就有a=0或b=0.

它这里给的证明是什么意思呢？它是利用了素理想的等价刻画:I是素理想当且仅当R/I是整环。

如何由整环的定义，推出0是素理想?
而且刚好是交换幺环R的素理想？

R同构于R/(0)，也就是说这它们同时为整环或同时非整环。
于是，R是整环表明R/(0)是整环，从而(0)是R的素理想。反过来，如果(0)是R的素理想，那么R/(0)是整环，所以R也是整环。