第二类斯特林数

第二类斯特林数 $\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$ 表示把 $n$ 个不同的小球放进 $m$ 个相同的盒子里，不能有空盒的方案数。

一些小性质：

• $\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=0]$
• 当 $n<m$ ，$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=0$

1. 递推式

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}+m\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}$$

对第 $n$ 个球的放法讨论:

1. 单独放一个盒子，方案为 $\begin{Bmatrix}n-1\\m-1\end{Bmatrix}$
2. 与其他球放在一个盒子，所有盒子不同，有 $m$ 种选法，每种选法方案为 $\begin{Bmatrix}n-1\\m\end{Bmatrix}$

2.通项公式

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}= \frac{1}{m!}\sum_{i=0}^m \left(-1\right)^i \binom {m}{i} \left(m-i\right)^n$$

先将盒子当作有区别的考虑，然后将答案乘上 $\displaystyle \frac{1}{m!}$ 消除影响。

因为第二类斯特林数要求盒不能为空，所以容斥这个条件。

至少有 $i$ 个空盒的方案数为 $\displaystyle \binom{m}{i}(m-i)^n$

那么上面的式子就很显然了。

CF961G Partitions

P4091 [HEOI2016/TJOI2016]求和

3.自然数幂

$$m^n=\sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} m^{\underline i}=\sum_{i=0}^n \begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix} \binom{m}{i} i!$$

左式为将 $n$ 个不同的小球放进 $m$ 个不同的盒子里。

右式枚举非空盒子的数量 $i$，选盒子的方案数为 $\displaystyle \binom m i$ ， 将 $n$ 个不同的球放入 $i$ 个相同盒子方案数为 $\begin{Bmatrix}n\\i\end{Bmatrix}$，因为盒子不同所以有 $i!$ 种排列。

dp

P4827 [国家集训队] Crash 的文明世界

CF1097G Vladislav and a Great Legend

推式子

CF932E Team Work

P6620 [省选联考 2020 A 卷] 组合数问题

CF1278F Cards & P6031 Cards加强版

4.求法

1.P5395 第二类斯特林数·行

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix} m!=\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i}\binom m i i^n$$

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix} m!=\sum_{i=0}^m (-1)^{m-i} \frac{m!}{i! (m-i)!} i^n$$

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^m \frac{(-1)^{m-i}i^n}{i!(m-i)!}$$

$$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}=\sum_{i=0}^m \frac{i^n}{i!} \frac{(-1)^{m-i}}{(m-i)!}$$

可以看出是一个卷积形式，用多项式乘法可 $\mathcal{O(n \log n)}$ 求出第二类斯特林数的任意一行。

2.P5396 第二类斯特林数·列

构造指数型生成函数

$$F_1(x)=\sum_{i}\begin{Bmatrix} i \\1\end{Bmatrix}\frac{x^i}{i!} = e^x-1$$

$$F_k(x)=\frac{F_1^k(x)}{k!}=\frac{(e^x-1)^k}{k!}$$

多项式幂函数即可，复杂度 $\mathcal O(n \log n)$