P7962 [NOIP2021] 方差

不难得到以下结论：( $d_1$ 不能交换所以特殊考虑 ）

1. 操作实质为交换差分数组
2. 最终差分数组形成单峰(中间低)

并且答案为：

$$n\sum x_i^2-(\sum x)^2$$

考虑一个 dp： $f_{i,x,s}:$ 前 $i$ 个 $d$ ,当前前缀 $x$ 的值,前后缀 $\sum x$ 的值，此时 $\sum x^2$ 的最小值。

将 $d$ 降序排列，转移枚举当前 $d$ 放在开头还是末尾，可得：

$$f_{i,x,s}=\min(f_{i-1,x-d_i,s-x}+x^2,f_{i-1,x,s-(a_n-(pred_{i-1}-x))}+(a_n-(pred_{i-1}-x))^2)$$

最后求 $nf_{n,x,s}-s^2$ 的最小值即可，时间复杂度 $\mathcal O(n^2A^2)$。

考虑优化状态数，问题在于 $x$ 这一维

此时换一种加入方式，从单峰的中间部分开始填数，通过增量维护平方和

$f_{i,s}=\min(f_{i-1,s-d_ii}+2sd_i+i{d_i}^2,f_{i-1,s-pred_i}+{pred_i}^2)$

这样做的时间复杂度为 $\mathcal O(n^2A)$

注意到当 $n >A$ 时 , $d \not= 0$ 的个数至多有 $A$ 个。

那么只需计算这 $A$ 个非 $0$ 值即可，时间复杂度 $\mathcal O(\min(n,A)nA)$

总结

对于单峰序列的 dp，可以考虑从两端填数，通过记录前缀的信息推断后缀的信息；也可从中间填数，直接维护当前的信息。