P1861 星之器

只给出了初末状态，且操作难以描述，不妨考虑初末状态的势能。

我们希望找到一个势能函数，满足每次操作减少的势能等于答案的增量。

总势能为所有星星的势能和，而两维是相对独立的，不妨只考虑一维：

对于 $x_1,x_2(x_1<x_2)$ ， 有：

$$(f(x_1)+f(x_2))-(f(x_1+1)+f(x_2-1))=x_2-x_1-1$$

$$\Rightarrow f(x_1)-f(x_1+1)+x_1=f(x_2-1)-f(x_2)+x_2-1$$

也就是说只需保证 $f(x)-f(x+1)+x$ 为定值即可。

不妨令这个定值为 $0$ ，且 $f(0)=0$ ，解得：$f(x)=\frac{x^2+x}{2}$

那么一个在 $(x,y)$ 的星星势能为： $\frac{x^2+x+y^2+y}{2}$