网络流总结&做题记录
1.二分图
二分图对偶定理：
二分图最大权匹配 \(=\) 二分图最小点权覆盖 \(=\) \(|∑w|\) \(-\) 二分图最大点权独立集
1.最小点权覆盖
若一个点集 \(P \subseteq V\) , 使得： \(\forall(u,v) \in E\) , \((u \in P) \lor (v \in P)\) ，那么 \(P\) 便是原图的一个点覆盖。
对于所有满足条件的 \(P\) , \(\sum_{u \in P} w_u\) 的最小值即为最小点权覆盖。
-
将二分图的两部分分别与源点/汇点连容量为点权的边
-
二分图内部的边容量设为 \(+\infty\)
最后图的最小割即为原二分图的最小点权覆盖。
考虑这样做的正确性：
二分图的点覆盖中每条边都至少被一个点覆盖，所以没有源点到汇点的路径，是新图的割。
新图的割的边集只可能包含源点与汇点为顶点的边（内部的边容量为 \(+\infty\)），那么割掉一条边对应选出这个点。
2.最大点权独立集
若一个点集 \(P \subseteq V\) , 使得： \(\forall(u,v) \in E\) , \((u \notin P) \lor (v \notin P)\) ， 那么 \(P\) 便是原图的一个点独立集。
对于所有满足条件的 \(P\) , \(\sum_{u \in P} w_u\) 的最大值即为最大点权独立集。
由对偶定理和 1. 易得解法，不再赘述。
2.集合划分问题
类型一
将元素划分为两个集合 \(A,B\) , 满足 \(A \cup B = U\) 且 \(A \cap B = \varnothing\)。
划分的代价为：
同时给定一些关系，若元素 \(u,v\) 不在同一集合则会有 \(w_i\) 的代价。
求划分的最小代价。
-
将一个元素拆成两个点，分别表示选入 \(A/B\) 集合。再从源点/汇点向两部分的点连容量为 \(b_i/a_i\) 的边（注意容量是反的）。
-
元素之间的代价可视为 \((A_u,B_v)/(A_v,B_u)\) 之间连容量为 \(w_i\) 的边。
-
在 \((A_u,B_u)\) 之间连容量为 \(+\infty\) 的边。
图的最小割即为最小代价。
因为 \((A_u,B_u)\) 之间的边容量为 \(+\infty\) ， 不可能是原图的边割集。
所以 \(A_u,B_u\) 之中一定有一点与源汇的边被割去，若 \((S,A_u)\) 被割则表示选入 \(B\) 集合，反之若 \((B_u,T)\) 被割则选入 \(A\) 集合。这也解释了建图时容量是相反的。
\((A_u,B_v),(A_v,B_u)\) 被割则表示接受 \(w_i\) 的代价。显然 \((A_u,B_v),(A_v,B_u)\)
\(2\) 条边最多会被割 \(1\) 条。
可以看出，图的割便是一个选择方案，选择方案也对应一个割。求出最小割即可。
\(\text{eg.}\) P2057 [SHOI2007]善意的投票 / [JLOI2010]冠军调查
类型二
将元素划分为两个集合 \(A,B\) , 满足 \(A \cup B = U\) 且 \(A \cap B = \varnothing\)。
划分的收益为：
同时给定一些关系，若集合 \(S_i\) 中的元素在同一集合(\(A/B\))则会有 \(w_A/w_B\) 的收益。
求划分的最大收益。
-
从源点/汇点向点 \(i\) 连容量为 \(a_i/b_i\) 的边。
-
对于每一个集合建一个虚点 \(i\)，若要求同属于 \(A\) 则 \(S\) 向 \(i\) 连容量为 \(w_A\) 的边， \(i\) 向集合 \(S\) 内的点连容量为 \(\infty\) 的边，要求同属于 \(B\) 同理。
最大收益即为所有收益 - 最小割(不能得到的收益)。
一条边被割掉即不要这条边对应的收益。
\(u\) 与源汇的边一定有一条被割去，若 \((S,u)\) 被割则表示选入 \(B\) 集合，反之若 \((u,T)\) 被割则选入 \(A\) 集合。
对于新建的虚点有两种情况(以 \(S \to i\) 为例，\(i \to T\) 同理)：
- \(S \to i\) 被割，既不要这组贡献
- \(S\) 内的点不能到 \(T\) ，即全部选入 \(A\)
可以看出，图的割便是一个选择方案，选择方案也对应一个割。求出最小割即可。
\(\text{eg.}\) 2020.12.28 题目
3.方格问题
- 格子之间有要求
格点之间的要求视作边，若是二分图则是最大点权独立集。
\(\text{eg.}\) P2774 方格取数问题 \(~~~\) P3355 骑士共存问题
- 每行、每列、每个格子有要求
对于每行、每列分别建一个点
行与列之间的边对应格子限制，源点与行的边 / 汇点与列的边 对应 行 / 列 的限制。
值得注意的是，这个图也是一个二分图。
\(\text{eg.}\) P4311 士兵占领 \(~~~\) P4194 矩阵
4.最大权闭合子图
对于原图 \(G=(V,E)\) 的一个子图 \(G'=(V',E'=\{(u,v)| (u,v) \in E \land u \in V' \land v \in V'\})\)，
若： \(\forall u \in V', (u,v) \in E\) ，有 \(v \in V'\)，那么 \(G'\) 为原图的闭合子图。
对于所有满足条件的 \(G'\) ， \(\sum_{u \in V'} w_u\) 的最大值即为原图的最大权闭合子图。
-
对于原图中点权为正的点 \(u\)，连接 \((s,u)\) , 容量为 \(w_i\)
。 -
对于原图中点权为负的点 \(v\)，连接 \((v,t)\) ，容量为 \(-w_i\)。
-
对于原图中的边，连接 \((u,v)\) , 容量为 \(+\infty\)。
答案即为所有正权点的权值之和减去新图的最小割。
咕咕咕...
5.对偶图
平面图最小割 = 对偶图最短路
\(\text{eg.}\) 2021.10.26 题目
6.其他模型
1.区间覆盖模型
在 \([1,n]\) 上有 \(m\) 个区间 \([l_i,r_i]\) , 每个区间可以选择 \(c_i\) 次，代价为 \(w_i\) ，求使得 \(i\) 被覆盖次数属于 \([a_i,b_i]\) 的费用。
建立点数为 \(m+1\) 的链，源点连 \(1\) ，汇点连 \(m+1\) , 容量为 \(X\) (极大值)
对于一个区间，从 \(l_i\) 连向 \(r_i +1\)，容量为 \(c_i\) , 费用为 \(w_i\)
记边 \(i \to i + 1\) 的流量为 \(f_i\) ，那么 \(X-f_i\) 即为点 \(i\) 被覆盖次数。
我们只需让 \(f_i \in [X-b_i,X-a_i]\) 即可满足条件
问题转化为上下界网络费用流。
特别的，若 \(b_i\) 相同，取 \(X=b_i\) 可转化为普通费用流。
eg. [NEERC2016]Delight for a Cat
[NOI] 志愿者招募
2020.12.18 拆点、最大流
P3153 [CQOI2009]跳舞
二分答案 + 拆点 + 最大流
P3163 [CQOI2014]危桥
最大流
2020.12.19 最大流/最小割
*SP839 Optimal Marks
按位考虑 + 最小割
2020.12.21 上下界网络流
P4311 士兵占领
P4843 清理雪道
UVA1440 Inspection
2020.12.22 上下界网络流
P4194 矩阵
2020.12.23 拆点、最大流
UVA12125 March of the Penguins
拆点
*SP4063 Sell Pigs
最大流建模
2020.12.24 最大流/最小割
*P1344 [USACO4.4]Pollutant Control
特殊处理：
在最小割最小的前提下，让割的边最少。
对每一条 \((u,v,c)\) 的边变为 \((u,v,c \times base+1)\) 。\((base > m)\)
最后 \(\text{Maxflow} /base\) 为最小割， \(\text{Maxflow}\%base\) 为最少边。
*P2057 [SHOI2007]善意的投票 / [JLOI2010]冠军调查
最小割建模
2020.12.25 最大流/最小割
UVA1660 Cable TV Network & SP300 Cable TV Network
最小割建模
*P4662 [BalticOI 2008]黑手党
最小割建模
P3191 [HNOI2007]紧急疏散
最大流建模
P2402 奶牛隐藏
最大流建模
2020.12.26 最大权闭合子图
CF1082G Petya and Graph
P4174 [NOI2006]最大获利
P3410 拍照
*P4177 [CEOI2008]order
注意经典模型的转换。
P3749 [六省联考2017]寿司餐厅
*CF103E Buying Sets
特殊条件的运用。
P5295 [北京省选集训2019]图的难题
结论题 + 退流
退流似乎用处不大，毕竟建图的时间肯定小于网络流的时间。
2020.12.28 集合划分问题
*P1361 小M的作物
P1935 [国家集训队]圈地计划
P4313 文理分科 & P1646 [国家集训队]happiness
P4210 土地划分
2020.12.28 最小割
P2598 [ZJOI2009]狼和羊的故事
最小割建模
P6094 [JSOI2015]圈地
上一题的加强版
2020.12.29 最小割
*P3227 [HNOI2013]切糕
最小割建模
P3973 [TJOI2015]线性代数
最小割建模
P5934 [清华集训2012]最小生成树
最小割建模
P1791 [国家集训队]人员雇佣
2020.12.30 二分图
*P5771 [JSOI2016]反质数序列
最大权独立集
P2172 [国家集训队]部落战争
最小路径覆盖
P4589 [TJOI2018]智力竞赛
最小路径覆盖
SP741 STEAD - Steady Cow Assignment
二分图匹配
UVA1194 Machine Schedule
最小点权覆盖
2020.12.30
P6062 [USACO05JAN]Muddy Fields G
CF1404E Bricks
P4055 [JSOI2009]游戏
P2825 [HEOI2016/TJOI2016]游戏
2021.10.26
P4001 狼抓兔子
P7916 [CSP-S 2021] 交通规划
正解不是网络流，但密切相关。
todo list
最大闭合子图，最大密度子图，上下界网络流
