2021 年 4月随笔档案 - chihik

ARC113 题解

摘要：比赛地址 A. A * B * C 枚举

A, B

$A,B$ ，直接计算可能的

C

$C$ 的个数。复杂度和调和级数相同，为

O (n \ln n)

$\mathcal O(n \ln n)$ B. A ^ B ^ C 直接扩展欧拉定理计算即可。 C. String Invasion 倒着扫字符串，遇到连续两个相同字符阅读全文

posted @ 2021-04-15 20:25 chihik 阅读(168) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4400 [JSOI2008]Blue Mary的旅行

摘要：这道题貌似很多人用的是网络流+分层图。这里介绍一种费用流解法。可以证明，最后一个人到达的时间是小于第100天的。那么对于每一趟航班，如果他的起点是

u

$u$ ，终点为

v

$v$ ，可搭乘的人的数量为

w

$w$ 。那我们就对

(u, v)

$(u,v)$ 连100条流量为

w

$w$ ,费用为

i

$i$ 的边（

i

$i$ 表示第几天），分别表示第

i

$i$ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:37 chihik 阅读(49) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3703 [SDOI2017]树点涂色

摘要：众所周知，

access(x)

$\text{access(x)}$ 后

r t \to x

$rt \to x$ 这条实链在一个

s p l a y

$splay$ 中。也就是说，

s p l a y

$splay$ 所维护的链中的点同色。那么到点

x

$x$ 到根路径的权值便是经过虚边的数量

+ 1

$+1$ ，不妨记为

d i s_{x}

$dis_x$ 。对于修改操作，每次爬阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:35 chihik 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF147B Smile House

摘要：Solution 1 设

d p_{s, i, j}

$dp_{s,i,j}$ 表示走了不超过

s

$s$ 条边，

i \to j

$i \to j$ 的最长路径(走不通为极小值) 如果有

u \to v

$u \to v$ 的一条边，那么

d p_{1, u, v} = w

$dp_{1,u,v}=w$ （

w

$w$ 为这条边的权值）转移为： \[ dp_{s,i,j}=\max_ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:32 chihik 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P1587 [NOI2016]循环之美

摘要：类比十进制下的纯循环小数，

k

$k$ 进制下的纯循环小数满足最简分数分母与

k

$k$ 互质。而题目要求相同数值只计数一次，所以只需要考虑最简分数的情况。那么答案为：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [(i, j) = 1] [(j, k) = 1]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1]$ \(\sum_{i=1}^n\su 阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:15 chihik 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4177 [CEOI2008]order

摘要：如果没有租用机器这一操作，做法同 P2762 太空飞行计划问题，用最大权闭合子图模型解决。考虑如何在经典方法构造的新图中体现租用机器这一操作。新图中对于工作和它所需的机器之间的容量为

+ \infty

$+\infty$ , 意义即为选择这个工作就必须购买这个机器。那么 ‘租用’ 就可以将这条边的容量改为阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:13 chihik 阅读(29) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF464D World of Darkraft - 2

摘要：首先明确一点，所有装备的期望相同，只需求出任意一种后答案乘

k

$k$ 即可。令

d p [i] [j]

$dp[i][j]$ 表示还需要打

i

$i$ 只怪，装备等级为

j

$j$ 的金币数量期望。那么有三种情况： 1.得到的并不是当前类型装备，概率为

\frac{k - 1}{k}

$\frac{k-1}{k}$ ，这种情况下你一分钱也得不阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:09 chihik 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P2792 [JSOI2008]小店购物

摘要：给出一个易于理解且好写的做法。有一个贪心做法，从源点向每一种商品连

c_{i} \times m_{i}

$c_i \times m_i$ 的边。对于优惠方案

(A, B, P)

$(A,B,P)$ , 从

A

$A$ 向

B

$B$ 连

P \times m_{B}

$P \times m_B$ 的边。最后源点的最小树形图即为答案? 这样做显然有问题，因为如果同时阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:06 chihik 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF757E Bash Plays with Functions

摘要：根据题意进行分类讨论：令

τ (n)

$\tau(n)$ 为

n

$n$ 的不同质因数的个数。

r = 0

$r=0$ 因为要求

gcd (p, q) = 1

$\gcd(p,q)=1$ ，那么相同的质因数只会全部在

p

$p$ 或

q

$q$ 中。每种不同的质因数有

2

$2$ 种选法，那么 \(f_0(n)=2^{\tau(n)} 阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:02 chihik 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SP9934 ALICE - Alice and Bob

摘要：令

s

$s$ 为石子的总数，那么操作次数最多为

s + (n - 1)

$s+(n-1)$ 如果石子数量全不为一，那么先手必胜的条件为

s + (n - 1)

$s+(n-1)$ 为奇数，因为他一定可以保证操作

s + (n - 1)

$s+(n-1)$ 次。反之后手必胜。问题在于石子数量可能为

1

$1$ ，这时去掉这颗石子便无法合并。所以状态应该阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:52 chihik 阅读(41) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SP26108 TRENDGCD - Trending GCD

摘要：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} i j gcd (i, j) μ^{2} (gcd (i, j))

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m ij \gcd(i,j)\mu^2(\gcd(i,j))$

\sum_{k = 1}^{min (n, m)} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = k] i j k μ^{2} (k)

$\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=k]ij k\mu^2(k)$ \(\sum_{k=1}^{\ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:51 chihik 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SP4060 KPGAME - A game with probability

摘要：

d p [0 / 1] [i]

$dp[0/1][i]$ :有

i

$i$ 颗石子 Alice/Bob 为先手，Alice 赢的概率令

P

$P$ 为 Alice 拿走石子的概率，

Q

$Q$ 为 Bob 拿走石子的概率。 $$\begin dp[0][i]=dp[1][i-1] * P+dp[1][i] * (1-P) \ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:50 chihik 阅读(48) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5437 【XR-2】约定

摘要：每一条边被选中的概率：

\frac{n - 1}{\frac{n (n - 1)}{2}} = \frac{2}{n}

$\frac{n-1}{\frac{n(n-1)}{2}}=\frac{2}{n}$ 所以答案为：

\frac{2}{n} \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} (i + j)^{k}

$\frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^n (i+j)^k$ 单独考虑后面的和式： \[ f(n)=\sum_{i=1 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:48 chihik 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5176 公约数

摘要：首先有一个结论：

g c d (i \cdot j, i \cdot k, j \cdot k) = \frac{g c d (i, j) \cdot g c d (j, k) \cdot g c d (i, k)}{g c d (i, j, k)}

$gcd(i\cdot j,i\cdot k,j\cdot k)=\frac{gcd(i , j )\cdot gcd(j , k) \cdot gcd(i,k)}{gcd(i,j,k)}$ 证明如下：先将

i, j, k

$i,j,k$ 用唯一分解定理展开的次方分别为 \(w_1,w_ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:47 chihik 阅读(73) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5130 纯粹的弹幕地狱

摘要：因为每回合击中的概率是固定的，所以只需要算一次。概率为：可以击中的情况/总情况。每个点有

(n + 1)^{2}

$(n+1)^2$ 个位置，所以总情况为

(n + 1)^{4}

$(n+1)^4$ 可以击中的情况和仪仗队差不多，画个图就知道答案为： \(4(n-1)n+4\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} [ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:46 chihik 阅读(93) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4619 [SDOI2018]旧试题

摘要：

\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} d (i j k)

$\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^Cd(ijk)$

\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} \sum_{x | i} \sum_{y | j} \sum_{z | k} [(x, y) = 1] [(y, z) = 1] [(x, z) = 1]

$\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{z|k}[(x,y)=1][(y,z)=1][(x,z)=1]$ \(\su 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:44 chihik 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4464 [国家集训队]JZPKIL

摘要：如果不知道伯努利数的点这里。

\sum_{i = 1}^{n} (i, n)^{x} [i, n]^{y}

$\sum_{i=1}^n (i,n)^x[i,n]^y$

\sum_{i = 1}^{n} (i, n)^{x - y} \times i^{y} \times n^{y}

$\sum_{i=1}^n (i,n)^{x-y} \times i^y \times n^y$ \[ n^y \sum_{d|n} d ^{x-y} \sum_{i=1}^n [(i,n)=d 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:43 chihik 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4451 [国家集训队]整数的lqp拆分

摘要：设整数

n

$n$ 的

lqp

$\text{lqp}$ 拆分权值为

g (n)

$g(n)$ , 那么有：

\begin g(n)=1 & (n=0) \ \displaystyle g(n)=\sum_^ fib(i) \times g(n-i) & (n \not=0) \end

$\begin g(n)=1 & (n=0) \ \displaystyle g(n)=\sum_^ fib(i) \times g(n-i) & (n \not=0) \end$ 令 \(F(x) 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:41 chihik 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

伯努利数

摘要：一.伯努利公式伯努利数是一个用于解决

n

$n$ 次方和的数列。它的递归定义公式如下：

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n + 1}{i}) B_{i} = [n = 0] (1.1)

$\sum_{i=0}^n \binom {n+1} i B_i=[n=0] ~~~~~~~~ (1.1)$ 通过这个定义可以得到伯努利数的前几项：\(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6} 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:39 chihik 阅读(897) 评论(0) 推荐(0) 编辑

p2365 & p5785 任务安排

摘要：两道题的转移式是一样的，只是优化不同。令

d p (i)

$dp(i)$ 为完成前

i

$i$ 个任务的最小花费。你会发现每次操作后总时间会增加

s

$s$ ，这样就不好处理当前时间。所以可以用前几周讲到的方法，将

s

$s$ 的贡献提前计算，那么有转移 \(dp(i)=\min\{dp(j)+(Sumc 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:30 chihik 阅读(42) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3312 [SDOI2014]数表

摘要：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} σ ((i, j))

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \sigma((i,j))$

\sum_^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_^n\sum_^m [gcd(i,j)=d]

$\sum_^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_^n\sum_^m [gcd(i,j)=d]$ $$\sum_{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{\frac{\min(n,m) 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:29 chihik 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1215F Radio Stations

摘要：令

u

$u$ 表示选择电站

u

$u$ ,

u^{'}

$u'$ 表示不选择电站

u

$u$ 。首先可以简单的处理出电站之间的要求：

u, v

$u,v$ 至少选一个，连边

(u^{'}, v), (v^{'}, u)

$(u',v),(v',u)$

u, v

$u,v$ 至多选一个，连边

(u, v^{'}), (v, u^{'})

$(u,v'),(v,u')$ 可以枚举

f

$f$ ,电站区间阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:22 chihik 阅读(37) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4983 忘情

摘要：首先看一下每段的值：

\frac{{((\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \times \bar{x}) + \bar{x})}^{2}}{{\bar{x}}^{2}}

$\frac{\left((\sum\limits_{i=1}^{n}x_i×\bar x)+\bar x\right)^2}{\bar x^2}$ \[ \frac{(\sum\limits_{i=1}^{n}x_i×\bar x)^2+2\bar x(\sum\li 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:20 chihik 阅读(53) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P6271 [湖北省队互测2014]一个人的数论

摘要：注意本篇题解的

k

$k$ 是题目中的

d

$d$ 。

\sum_{i = 1}^{n} [gcd (i, n) = 1] i^{k}

$\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]i^k$

\sum_{i = 1}^{n} i^{k} \sum_{d | gcd (i, n)} μ (d)

$\sum_{i=1}^ni^k\sum_{d|\gcd(i,n)}\mu(d)$ \(\sum_{d|n}\mu(d)d^k\sum_{i=1}^{\lfloor \frac 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:16 chihik 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

AT4434 [ARC103D] Distance Sums

摘要：由题显然有：

\begin siz_u=1+\sum_{v\in son_u} siz_v \ d_v=d_u+n-2\times siz_v \end

$\begin siz_u=1+\sum_{v\in son_u} siz_v \ d_v=d_u+n-2\times siz_v \end$ 顺带一提，

d

$d$ 是换根dp 的基操。因为我们知道

d

$d$ , 所以考虑将

s i z

$siz$ 消掉，从而确定父子关系。化简可得阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:15 chihik 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P7431 [THUPC2017] 小 L 的计算题

摘要：

f_{k} = \sum_{i = 1}^{n} {a_{i}}^{k}

$f_k=\sum_{i=1}^n {a_i}^k$ $$\begin F(x)&=\sum_{k \ge 0}x^k\sum_^n ^k \ &=\sum_n\sum_{k \ge 0}xk ^k \ &= \sum_^n\frac{1}{1-a_ix} \ &=\sum_^n \left( 阅读全文

posted @ 2021-04-08 17:00 chihik 阅读(83) 评论(0) 推荐(0) 编辑

LCT 与连通问题

摘要：所有问题只有加边，没有删边。一.维护连通性并查集就可以了。二.维护割边考虑连边时维护割边。

u, v

$u,v$ 不联通，直接连上即可，可以看出，这条边是割边。

u, v

$u,v$ 已经联通，说明构成一个环，原来在

u \to v

$u \to v$ 路径上的边都不再是割边。如果把割边的值设为

1

$1$ ，非阅读全文

posted @ 2021-04-07 17:09 chihik 阅读(80) 评论(0) 推荐(0) 编辑

第二类斯特林数

摘要：第二类斯特林数

{\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}}

$\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}$ 表示把

n

$n$ 个不同的小球放进

m

$m$ 个相同的盒子里，不能有空盒的方案数。一些小性质：

{\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}} = [n = 0]

$\begin{Bmatrix}n\\0\end{Bmatrix}=[n=0]$ 当

n < m

$n<m$ ，阅读全文

posted @ 2021-04-02 17:27 chihik 阅读(335) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF1278F Cards & 加强版

摘要：$$\begin &\sum_n ik \binom \left(\frac{1}\right)i \left(\frac\right) \ =&\frac{1}{mn}\sum_n ik \binom(m-1) \ =&\frac{1}{mn}\sum_n \sum_k (m-1)\binom\b 阅读全文

posted @ 2021-04-02 14:42 chihik 阅读(72) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4841 [集训队作业2013]城市规划

摘要：令

g_{n}

$g_n$ 表示

n

$n$ 个点的无向图数量，

f_{n}

$f_n$ 表示

n

$n$ 个点的无向连通图数量。显然

g_{n} = 2^{(\binom{n}{2})}

$g_n=2^{\binom{n}{2}}$ 同时如果枚举

1

$1$ 节点所在的联通块大小可得： $$\begin &g_n=\sum_^n \binomf_ig_ \ \ 阅读全文

posted @ 2021-04-01 15:59 chihik 阅读(60) 评论(0) 推荐(0) 编辑

chihik

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