ABC231G Balls in Boxes

刚开始推的时候第一步就忘了乘方案数...

不妨将答案的式子列出：

$$\frac{1}{n^k}\sum_{\sum d_i=k}\frac{k!}{\prod{d_i!}}\prod_{1 \le i \le n}(A_i+d_i)$$

$$\frac{k!}{n^k}\sum_{\sum d_i=k}\prod_{1 \le i \le n}\frac{(A_i+d_i)}{d_i!}$$

这种形式使我们自然联想到 EGF，对于第 $i$ 个元素有:

$$\begin{aligned} F_i(x)&=\sum_{j \ge 0}\frac{A_i+j}{j!}x^j \\ &=A_ie^x+xe^x \end{aligned}$$

那么:

$$\prod_{1 \le i \le n}F_i(x)=e^{nx}\prod_{1\le i\le n}(A_i+x)$$

注意到后面次数为 $n$ ，可以通过分治fft或者暴力计算系数

前面 $e^{nx}=\sum_{i \ge 0}\frac{n^i}{i!}x^i$，$k-i$ 很大直接计算肯定不行

但是我们可以将它和最前面的 $k!$ 合并成一个下降幂，预处理即可。

时间复杂度为 $\mathcal O(n\log^2n)$ 或 $\mathcal O(n^2)$