AT4434 [ARC103D] Distance Sums

由题显然有：

\[\begin{cases} siz_u=1+\sum_{v\in son_u} siz_v \\ d_v=d_u+n-2\times siz_v \end{cases}\]

顺带一提，\(d\) 是 换根dp 的基操。

因为我们知道 \(d\) , 所以考虑将 \(siz\) 消掉，从而确定父子关系。

化简可得：

\[\frac{d_{fa}+n-d_u}{2}=1+\sum_{v\in son_u} \frac{d_u+n-d_v}{2} \]

\[d_{fa}+n-d_u=2+\sum_{v\in son_u} d_u+n-d_v \]

\[d_{fa}=d_u+2-n+\sum_{v\in son_u} d_u+n-d_v \]

可以发现，\(d\) 最大的节点一定是叶子，并且对于叶子 \(u\) 的父亲的 \(d\)，满足

\[d_{fa}=d_u+2-n \]

那么可以把 \(d\) 从大到小排序，维护对父亲的贡献即可。

注意我们构造出的这棵树只满足父子 \(d\) 的差值，所以还要遍历这棵树判断根的 \(d\) 是否与题目相同。

#include <cstdio>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define LL long long

const int MAXN = 1e6;
int n , fa[ MAXN + 5 ];
vector< int > Graph[ MAXN + 5 ];
struct node {
    int id; LL d , f;
    bool operator < ( const node &x ) const { return d > x.d; }
    bool operator > ( const node &x ) const { return d < x.d; }
    bool operator > ( const LL &x  ) const { return d < x; }
    bool operator < ( const LL &x  ) const { return d > x; }
}p[ MAXN + 5 ];

int rt; LL disrt;
void dfs( int u , int dep ) {
	disrt += dep;
	for( int i = 0 ; i < Graph[ u ].size() ; i ++ ) dfs( Graph[ u ][ i ] , dep + 1 );
}

int main( ) {
    scanf("%d",&n);
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) scanf("%lld",&p[ i ].d) , p[ i ].id = i;
	sort( p + 1 , p + n + 1 );
    for( int i = 1 ; i < n ; i ++ ) {
        fa[ i ] = lower_bound( p + 1 , p + n + 1 , p[ i ].d + 2 - n + p[ i ].f ) - p;
        if( fa[ i ] == n + 1 ) return printf("-1\n") & 0;
        Graph[ fa[ i ] ].push_back( i );
        p[ fa[ i ] ].f += p[ fa[ i ] ].d + n - p[ i ].d;
    }
    for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ ) if( !fa[ i ] ) rt = i;
    dfs( rt , 0 ); if( disrt != p[ rt ].d ) return printf("-1\n") & 0;
    for( int i = 1 ; i < n ; i ++ ) if( fa[ i ] ) printf("%d %d\n", p[ fa[ i ] ].id , p[ i ].id );
    return 0;
}