[Public NOIP Round #3]数圈圈

二维猫树分治版题

考虑用一条切割线划分矩形，并统计经过该线的圈。

假设线是竖着切的，那么只需分别统计左右两边 匚 的数量即可。

记 \(L_{i,j},R,U,D\) 分别表示左/右/上/下与 \((i,j)\) 相同的最大距离。

对于左边，考虑上下端点 \(u,v (u<v)\) ，有

\[\sum_{i=\max(L_{u,mid},L_{v,mid})}^{mid} [D_{u,i} \ge v] \]

当 \(L_{u,mid} \ge L_{v,mid}\) 时：

\[\sum_{i=L_{u,mid}}^{mid} [D_{u,i} \ge v] \]

只需对 \(u\) 的贡献做后缀和后 \(\mathcal O(1)\) 查询对 \(v\) 的贡献。

当 \(L_{u,mid} < L_{v,mid}\) 时可转换为：

\[\sum_{i=L_{v,mid}}^{mid} [U_{v,i} \le u] \]

同样可以处理。

切割线与短边平行时单个矩形的复杂度为 \(x^2+xy\) ， 总时间复杂度为 \(\mathcal O(nm \log nm)\)

实现较为复杂，但没有太多细节，注意一下边界就可以了。

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define ll long long

const int MAXN = 2000;
int n , m , s[ MAXN + 5 ][ MAXN + 5 ];
int U[ MAXN + 5 ][ MAXN + 5 ] , D[ MAXN + 5 ][ MAXN + 5 ] , L[ MAXN + 5 ][ MAXN + 5 ] , R[ MAXN + 5 ][ MAXN + 5 ];

ll ans;
int buc[ MAXN + 5 ] , f[ MAXN + 5 ][ MAXN + 5 ] , g[ MAXN + 5 ][ MAXN + 5 ];
void Solve( int x1 , int y1 , int x2 , int y2 ) {
	int lenx = x2 - x1 + 1 , leny = y2 - y1 + 1;
	if( lenx < 1 || leny < 1 ) return;
	
	if( lenx <= leny ) { //竖着切 
		int md = y1 + y2 >> 1;
		
		for( int u = x1 ; u <= x2 ; u ++ ) {
			for( int i = max( L[ u ][ md ] , y1 ) ; i <= md ; i ++ ) buc[ min( D[ u ][ i ] , x2 ) ] ++;
			for( int v = x2 ; v > u ; v -- ) {
				buc[ v ] += buc[ v + 1 ];
				if( L[ u ][ md ] >= L[ v ][ md ] ) f[ u ][ v ] = buc[ v ];
			}
			for( int i = x1 ; i <= x2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		for( int v = x2 ; v >= x1 ; v -- ) {
			for( int i = max( L[ v ][ md ] , y1 ) ; i <= md ; i ++ ) buc[ max( U[ v ][ i ] , x1 ) ] ++;
			for( int u = x1 ; u < v ; u ++ ) {
				buc[ u ] += buc[ u - 1 ];
				if( L[ v ][ md ] > L[ u ][ md ] ) f[ u ][ v ] = buc[ u ];
			}
			for( int i = x1 ; i <= x2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		
		for( int u = x1 ; u <= x2 ; u ++ ) {
			for( int i = md ; i <= min( R[ u ][ md ] , y2 ) ; i ++ ) buc[ min( D[ u ][ i ] , x2 ) ] ++;
			for( int v = x2 ; v > u ; v -- ) {
				buc[ v ] += buc[ v + 1 ];
				if( R[ u ][ md ] <= R[ v ][ md ] ) g[ u ][ v ] = buc[ v ];
			}
			for( int i = x1 ; i <= x2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		for( int v = x2 ; v >= x1 ; v -- ) {
			for( int i = md ; i <= min( R[ v ][ md ] , y2 ) ; i ++ ) buc[ max( U[ v ][ i ] , x1 ) ] ++;
			for( int u = x1 ; u < v ; u ++ ) {
				buc[ u ] += buc[ u - 1 ];
				if( R[ v ][ md ] < R[ u ][ md ] ) g[ u ][ v ] = buc[ u ];
			}
			for( int i = x1 ; i <= x2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		
		for( int u = x1 ; u <= x2 ; u ++ )
			for( int v = u + 1 ; v <= x2 ; v ++ )
				if( f[ u ][ v ] && g[ u ][ v ] ) ans += 1ll * f[ u ][ v ] * g[ u ][ v ] - ( D[ u ][ md ] >= v );
		Solve( x1 , y1 , x2 , md - 1 ); Solve( x1 , md + 1 , x2 , y2 ); 
	}
	else {
		int md = x1 + x2 >> 1;
		
		for( int u = y1 ; u <= y2 ; u ++ ) {
			for( int i = max( U[ md ][ u ] , x1 ) ; i <= md ; i ++ ) buc[ min( R[ i ][ u ] , y2 ) ] ++;
			for( int v = y2 ; v > u ; v -- ) {
				buc[ v ] += buc[ v + 1 ];
				if( U[ md ][ u ] >= U[ md ][ v ] ) f[ u ][ v ] = buc[ v ];
			}
			for( int i = y1 ; i <= y2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		for( int v = y2 ; v >= y1 ; v -- ) {
			for( int i = max( U[ md ][ v ] , x1 ) ; i <= md ; i ++ ) buc[ max( L[ i ][ v ] , y1 ) ] ++;
			for( int u = y1 ; u < v ; u ++ ) {
				buc[ u ] += buc[ u - 1 ];
				if( U[ md ][ v ] > U[ md ][ u ] ) f[ u ][ v ] = buc[ u ];
			}
			for( int i = y1 ; i <= y2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		
		for( int u = y1 ; u <= y2 ; u ++ ) {
			for( int i = md ; i <= min( D[ md ][ u ] , x2 ) ; i ++ ) buc[ min( R[ i ][ u ] , y2 ) ] ++;
			for( int v = y2 ; v > u ; v -- ) {
				buc[ v ] += buc[ v + 1 ];
				if( D[ md ][ u ] <= D[ md ][ v ] ) g[ u ][ v ] = buc[ v ];
			}
			for( int i = y1 ; i <= y2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		for( int v = y2 ; v >= y1 ; v -- ) {
			for( int i = md ; i <= min( D[ md ][ v ] , x2 ) ; i ++ ) buc[ max( L[ i ][ v ] , y1 ) ] ++;
			for( int u = y1 ; u < v ; u ++ ) {
				buc[ u ] += buc[ u - 1 ];
				if( D[ md ][ v ] < D[ md ][ u ] ) g[ u ][ v ] = buc[ u ];
			}
			for( int i = y1 ; i <= y2 ; i ++ ) buc[ i ] = 0;
		}
		
		int cur = 0;
		for( int u = y1 ; u <= y2 ; u ++ )
			for( int v = u + 1 ; v <= y2 ; v ++ )
				if( f[ u ][ v ] && g[ u ][ v ] ) ans += 1ll * f[ u ][ v ] * g[ u ][ v ] - ( R[ md ][ u ] >= v );
		Solve( x1 , y1 , md - 1 , y2 ); Solve( md + 1 , y1 , x2 , y2 );
	}
}

int main( ) {
//	freopen("circle.in","r",stdin);
//	freopen("circle.out","w",stdout);
	
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for( int j = 1 ; j <= m ; j ++ ) {
			char c = getchar(); while( c < 'a' || c > 'z' ) c = getchar();
			s[ i ][ j ] = c;
		}
	for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for( int j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			U[ i ][ j ] = s[ i - 1 ][ j ] == s[ i ][ j ] ? U[ i - 1 ][ j ] : i;
	for( int i = n ; i >= 1 ; i -- )
		for( int j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			D[ i ][ j ] = s[ i + 1 ][ j ] == s[ i ][ j ] ? D[ i + 1 ][ j ] : i;
	for( int j = 1 ; j <= m ; j ++ )
		for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			L[ i ][ j ] = s[ i ][ j - 1 ] == s[ i ][ j ] ? L[ i ][ j - 1 ] : j; 	
	for( int j = m ; j >= 1 ; j -- )
		for( int i = 1 ; i <= n ; i ++ )
			R[ i ][ j ] = s[ i ][ j + 1 ] == s[ i ][ j ] ? R[ i ][ j + 1 ] : j;
	Solve( 1 , 1 , n , m );		
	printf("%lld\n", ans );
	return 0;
}