经典和式
给定 \(n,a,k\)，求
\[S(k)=\sum_{i=1}^n a^i i^k
\]
1. \(a=1\)
自然数幂和，直接拉插
2. \(a>1\)
由扰动法：
\[\begin{aligned}
S(k)&=\sum_{i=1}^n a^{i+1}(i+1)^k-a^{n+1}(n+1)^k+a \\
&=a\sum_{j=0}^k \binom{k}{j}\sum_{i=1}^n a^ii^j -a^{n+1}(n+1)^k+a\\
&=a\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}S(j)-a^{n+1}(n+1)^k+a \\
S(k)&=\frac{a^{n+1}(n+1)^k-a-a\sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} S(j)}{a-1}
\end{aligned}\]
这样可以使用 分治fft 做到 \(\mathcal{O(k \log k)}\) 的复杂度
听说有 \(\mathcal{O(k)}\) 的做法，以后再填。
3. \(0<a<1\) , \(n \rightarrow \infty\)
注意到此时和式收敛，不难由上得到：
\[S(k)=\frac{a+a\sum_{j=0}^{k-1} \binom{k}{j} S(j)}{1-a}
\]
例题.
2.P5349 幂
