划分数

因为 十二重计数法 咕了，所以写一下 \(\text{X}\)。

利用动态规划，令 \(f_{n,m}\) 表示 \(n\) 的 \(m\) 划分数

讨论当前是否有 \(0\) 可得： \(f_{n,m}=f_{n,m-1}+f_{n-m,m}\)

记 \(F_i(x)\) 为 \(m\) 划分的 OGF，由上得：

\[\begin{aligned} F_i(x)&=F_{i-1}(x)(1+x^{i}+x^{2i}+...) \\ &=F_{i-1}(x)\frac{1}{1-x^i} \\ &=\prod_{j=1}^i \frac{1}{1-x^j} \end{aligned}\]

这里有一个 付公主的背包 的套路，对 \(F_m\) 取 ln , 求和后 exp 回去。

\[\begin{aligned} F_m(x)&=\exp(\sum_{i=1}^m \ln(\frac{1}{1-x^i})) \\ &=\exp(\sum_{i=1}^m \sum_{j \ge 1} \frac{x^{ij}}{j}) \end{aligned}\]

直接算就可以了。

附：最后一步的证明

令 \(F(x)=\ln(1-x^v)\)

\[\begin{aligned} F(x)&=\int\frac{-vx^{v-1}}{1-x^v}\text{dx} \\ &=\int\sum_{i \ge 0} -vx^{v-1+vi} \text{dx} \\ &=\sum_{i \ge 0} \frac{-vx^{v+vi}}{v+vi} \\ &=-\sum_{i \ge 1} \frac{x^{vi}}{i}\\ \end{aligned}\]