「JOISC 2017」烟花棒

思路

不难想到答案具有单调性，直接二分速度 \(v\)，考虑如何判断：

可以观察出的性质：

• 任意时刻恰好只有一支烟花被点燃

• 所有人向烟花被点燃的那个人方向跑

由上可以得到一个重要结论：

所有遇到点燃烟花的人的人会跟着他一起跑，直到烟花燃尽

原因在于这样做保证与前面的人距离更近，而与后面的人相对距离不变

那么遇到其他人可认为烟花燃烧时间增加 \(t\)，转向只会发生在相遇瞬间

令 \(a_i=\frac{x_{i+1}-x_i}{2v} (i < k) , b_i=\frac{x_{i}-x_{i-1}}{2v} (i>k)\)，问题转化为：

初始权值为 \(t\)，依次取出 \(a,b\) 中的元素 (\(a\) 从后往前，\(b\) 从前往后)，权值先减 \(a/b\) ，然后加 \(t\)，求出一种取数方法使得权值始终非负。

考虑一种高妙的贪心，将元素划分为相邻的若干组，使得该组净权值非负，且任意真前缀净权值为负。

这样我们每次只会选择完整的一组，且我们选择的应该是 a,b 中 真前缀净权值min 较大的一组。

还有一个问题，最后可能剩下一段元素，他们的净权值为负。

但注意到末状态的权值是确定的，可以考虑时间倒流，每次减去 \(t\) , 然后加上 \(a/b\) ，同样保证权值始终非负

这样新的净权值一定为正，我们可以按照上述方法再做一遍贪心。

当然，如果选不完则不行。

总结

1. 寻找过程中的不变量

2. 如果末状态已知，可以倒着考虑