数学-生成函数 - 随笔分类 - chihik

2023/3/11 模拟赛

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posted @ 2023-03-11 17:50 chihik 阅读(0) 评论(0) 推荐(0) 编辑

摘要：1.概述取值处概率的生成函数。

F (1) = 1, F^{'} (1) = E

$F(1)=1,F'(1)=E$ 2.分析设

F (i)

$F(i)$ 为

i

$i$ 时刻结束概率的生成函数，

G (i)

$G(i)$ 为

i

$i$ 时刻未结束概率的生成函数，那么有： $$ f_i+g_i=g_{i-1} \ \Rightarrow F(x)+G(x)=xG(x)+1 ~~ 阅读全文

posted @ 2022-10-06 17:34 chihik 阅读(325) 评论(0) 推荐(0) 编辑

划分数

摘要：因为十二重计数法咕了，所以写一下

X

$\text{X}$ 。利用动态规划，令

f_{n, m}

$f_{n,m}$ 表示

n

$n$ 的

m

$m$ 划分数讨论当前是否有

0

$0$ 可得：

f_{n, m} = f_{n, m - 1} + f_{n - m, m}

$f_{n,m}=f_{n,m-1}+f_{n-m,m}$ 记

F_{i} (x)

$F_i(x)$ 为

m

$m$ 划分的阅读全文

posted @ 2022-04-10 22:28 chihik 阅读(40) 评论(0) 推荐(0) 编辑

ABC231G Balls in Boxes

摘要：刚开始推的时候第一步就忘了乘方案数... 不妨将答案的式子列出：

\frac{1}{n^{k}} \sum_{\sum d_{i} = k} \frac{k!}{\prod d_{i}!} \prod_{1 \leq i \leq n} (A_{i} + d_{i})

$\frac{1}{n^k}\sum_{\sum d_i=k}\frac{k!}{\prod{d_i!}}\prod_{1 \le i \le n}(A_i+d_i)$ \(\frac{k!}{n^k}\sum_{\sum d_i 阅读全文

posted @ 2022-04-10 21:41 chihik 阅读(14) 评论(0) 推荐(1) 编辑

hdu5793 A Boring Question

摘要：

\sum_{k} \prod_{i} (\binom{k_{i + 1}}{k_{i}})

$\sum_{k} \prod_{i} \binom{k_{i+1}}{k_i}$ 首先注意到

k

$k$ 一定是不降的，展开组合数得：

\sum_{k} \frac{k_{m}!}{k_{1}!} \prod_{i} \frac{1}{(k_{i + 1} - k_{i})!}

$\sum_{k}\frac{k_m!}{k_1!} \prod_{i} \frac{1}{(k_{i+1}-k_i)!}$ 考虑枚举

k_{1}

$k_1$ 和阅读全文

posted @ 2021-08-17 15:52 chihik 阅读(24) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4451 [国家集训队]整数的lqp拆分

摘要：设整数

n

$n$ 的

lqp

$\text{lqp}$ 拆分权值为

g (n)

$g(n)$ , 那么有：

\begin g(n)=1 & (n=0) \ \displaystyle g(n)=\sum_^ fib(i) \times g(n-i) & (n \not=0) \end

$\begin g(n)=1 & (n=0) \ \displaystyle g(n)=\sum_^ fib(i) \times g(n-i) & (n \not=0) \end$ 令 \(F(x) 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:41 chihik 阅读(63) 评论(0) 推荐(0) 编辑

伯努利数

摘要：一.伯努利公式伯努利数是一个用于解决

n

$n$ 次方和的数列。它的递归定义公式如下：

\sum_{i = 0}^{n} (\binom{n + 1}{i}) B_{i} = [n = 0] (1.1)

$\sum_{i=0}^n \binom {n+1} i B_i=[n=0] ~~~~~~~~ (1.1)$ 通过这个定义可以得到伯努利数的前几项：\(1,-\frac{1}{2},\frac{1}{6} 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:39 chihik 阅读(897) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4841 [集训队作业2013]城市规划

摘要：令

g_{n}

$g_n$ 表示

n

$n$ 个点的无向图数量，

f_{n}

$f_n$ 表示

n

$n$ 个点的无向连通图数量。显然

g_{n} = 2^{(\binom{n}{2})}

$g_n=2^{\binom{n}{2}}$ 同时如果枚举

1

$1$ 节点所在的联通块大小可得： $$\begin &g_n=\sum_^n \binomf_ig_ \ \ 阅读全文

posted @ 2021-04-01 15:59 chihik 阅读(60) 评论(0) 推荐(0) 编辑

CF923E Perpetual Subtraction

摘要：考虑每次转移前后的关系：令

F (x) = \sum_{i = 0}^{n} f_{i} x^{i}

$\displaystyle F(x)=\sum_{i=0}^nf_{i}x^i$ ,

F^{*} (x)

$F^*(x)$ 为操作后的生成函数。 $$\begin F^*(x)&= \sum_n xi\sum_^n \frac{j+1}\ &= \sum_n \frac{i+1} 阅读全文

posted @ 2021-03-22 21:17 chihik 阅读(45) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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