数论-莫比乌斯反演 - 随笔分类 - chihik

米缇

摘要：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} σ_{k} (i j)

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \sigma_k(ij)$ 阅读全文

posted @ 2021-12-23 21:32 chihik 阅读(206) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4240 毒瘤之神的考验

摘要：经过一番推导可得： \[ \sum_{T=1}^{\min(n,m)} \left ( \sum_{d|T} \frac{d}{\varphi(d)}\mu(\frac{T}{d}) \right) \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{T} \rfloor}\varphi(iT 阅读全文

posted @ 2021-12-21 16:16 chihik 阅读(25) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P1587 [NOI2016]循环之美

摘要：类比十进制下的纯循环小数，

k

$k$ 进制下的纯循环小数满足最简分数分母与

k

$k$ 互质。而题目要求相同数值只计数一次，所以只需要考虑最简分数的情况。那么答案为：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [(i, j) = 1] [(j, k) = 1]

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[(i,j)=1][(j,k)=1]$ \(\sum_{i=1}^n\su 阅读全文

posted @ 2021-04-08 21:15 chihik 阅读(47) 评论(0) 推荐(0) 编辑

SP26108 TRENDGCD - Trending GCD

摘要：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} i j gcd (i, j) μ^{2} (gcd (i, j))

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m ij \gcd(i,j)\mu^2(\gcd(i,j))$

\sum_{k = 1}^{min (n, m)} \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} [gcd (i, j) = k] i j k μ^{2} (k)

$\sum_{k=1}^{\min(n,m)}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m [\gcd(i,j)=k]ij k\mu^2(k)$ \(\sum_{k=1}^{\ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:51 chihik 阅读(38) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5176 公约数

摘要：首先有一个结论：

g c d (i \cdot j, i \cdot k, j \cdot k) = \frac{g c d (i, j) \cdot g c d (j, k) \cdot g c d (i, k)}{g c d (i, j, k)}

$gcd(i\cdot j,i\cdot k,j\cdot k)=\frac{gcd(i , j )\cdot gcd(j , k) \cdot gcd(i,k)}{gcd(i,j,k)}$ 证明如下：先将

i, j, k

$i,j,k$ 用唯一分解定理展开的次方分别为 \(w_1,w_ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:47 chihik 阅读(73) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P5130 纯粹的弹幕地狱

摘要：因为每回合击中的概率是固定的，所以只需要算一次。概率为：可以击中的情况/总情况。每个点有

(n + 1)^{2}

$(n+1)^2$ 个位置，所以总情况为

(n + 1)^{4}

$(n+1)^4$ 可以击中的情况和仪仗队差不多，画个图就知道答案为： \(4(n-1)n+4\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{n-1} [ 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:46 chihik 阅读(93) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4619 [SDOI2018]旧试题

摘要：

\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} d (i j k)

$\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^Cd(ijk)$

\sum_{i = 1}^{A} \sum_{j = 1}^{B} \sum_{k = 1}^{C} \sum_{x | i} \sum_{y | j} \sum_{z | k} [(x, y) = 1] [(y, z) = 1] [(x, z) = 1]

$\sum_{i=1}^A\sum_{j=1}^B\sum_{k=1}^C\sum_{x|i}\sum_{y|j}\sum_{z|k}[(x,y)=1][(y,z)=1][(x,z)=1]$ \(\su 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:44 chihik 阅读(36) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P4464 [国家集训队]JZPKIL

摘要：如果不知道伯努利数的点这里。

\sum_{i = 1}^{n} (i, n)^{x} [i, n]^{y}

$\sum_{i=1}^n (i,n)^x[i,n]^y$

\sum_{i = 1}^{n} (i, n)^{x - y} \times i^{y} \times n^{y}

$\sum_{i=1}^n (i,n)^{x-y} \times i^y \times n^y$ \[ n^y \sum_{d|n} d ^{x-y} \sum_{i=1}^n [(i,n)=d 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:43 chihik 阅读(56) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P3312 [SDOI2014]数表

摘要：

\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} σ ((i, j))

$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m \sigma((i,j))$

\sum_^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_^n\sum_^m [gcd(i,j)=d]

$\sum_^{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_^n\sum_^m [gcd(i,j)=d]$ $$\sum_{\min(n,m)}\sigma(d)\sum_{\frac{\min(n,m) 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:29 chihik 阅读(43) 评论(0) 推荐(0) 编辑

P6271 [湖北省队互测2014]一个人的数论

摘要：注意本篇题解的

k

$k$ 是题目中的

d

$d$ 。

\sum_{i = 1}^{n} [gcd (i, n) = 1] i^{k}

$\sum_{i=1}^n[\gcd(i,n)=1]i^k$

\sum_{i = 1}^{n} i^{k} \sum_{d | gcd (i, n)} μ (d)

$\sum_{i=1}^ni^k\sum_{d|\gcd(i,n)}\mu(d)$ \(\sum_{d|n}\mu(d)d^k\sum_{i=1}^{\lfloor \frac 阅读全文

posted @ 2021-04-08 20:16 chihik 阅读(31) 评论(0) 推荐(0) 编辑

数论函数综合

摘要：一.数论函数 1.定义数论函数是 : 其定义域是正整数，值域是一个数集的函数。积性函数 : 对于所有互质整数

a

$a$ 和

b

$b$ 有性质

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函数。完全积性函数 : 对于所有整数

a

$a$ 和

b

$b$ 有性质

f (a b) = f (a) f (b)

$f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函阅读全文

posted @ 2020-12-31 13:16 chihik 阅读(487) 评论(0) 推荐(0) 编辑

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