【模式识别与机器学习】——句法模式识别5.1集合论中的关系运算

第五章 句法模式识别

　　出发点：统计模式识别是基于模式特征的一组测量值来组成特征向量，用决策理论划分特征空间的方法进行分类。 基于描述模式的结构信息，用形式语言中的规则进行分类，可以更典型地应用于景物图片的分析。 因为在这类问题中，所研究的模式通常十分复杂，需要的特征也很多，仅用数值上的特征不足以反映它们的类别。所以需要采用句法模式识别。

      句法模式识别系统的组成 ：图像预处理 图像分割 基元及其关系识别 句法分析

       句法模式识别系统框图：

　　举例说明：句法模式识别系统处理过程 

（1）待识别的输入图像，经过增强、去噪声等处理后，按识别的具体对象分割成子图；

　　三角体D和长方体E

（2）然后将子图分割成更简单的模式基元；

　　组成三角体和长方体的各个面{L,T}和{X,Y,Z}

（3）判别基元之间的关系。

　　三角体D是由相互邻接的四边形L和三角形T组成 长方体E是有三个相互邻接的四边形X,Y和Z组成

说明：

　　基元本身包含的结构信息已不多，仅需少量特征即可识别。 如果用有限个字符代表不同的基元，则由基元按一定结构关系组成的子图或图形可以用一个有序的字符串来代表。

　　假如事先用形式语言的规则从字符串中推断出能生成它的文法，则可以通过句法分析，按给定的句法（文法）来辨识由基元字符组成的句子，从而判别它是否属于由该给定文法所能描述的模式类，达到分类的目的。

　　为了要事先确定一个文法来描述所要研究模式的结构信息，同样需要采用模式的训练样本集把文法推断出来。 有了推断出来的文法，才可以对未知类别的字符串进行句法分析，达到分类的目的。 这一过程类似于统计模式识别中的学习过程，但文法推断过程远不及统计学习来的成熟。

5.1 集合论中的关系运算

要进行句法识别中基元之间关系的判别，首先要明确关系运算。

二元关系：凡是一对对象之间的关系，都是二元关系。

二元关系的相关概念

（1）有序偶： 设用<x,y>表示一有序偶，它可以代表迪卡儿坐标，例如<1,3>，<2,4>，<1,2>等，它们表示平面坐标上的不同点。 两个有序偶<x,y>和<u,v>相等，定义为

（2）迪卡儿积：设A和B是任意两个集合，由A中的一个元素和B中的一个元素组成有序偶，那么由A和B中所有元素组成的有序偶集合，称为A和B的迪卡儿积，写成A x B。 公式表达：

二元关系的定义及表示：

　　任意有序对的集合定义一种二元关系，简称为关系 表示 设一有序对 ，其中R是一种关系，则记为xRy

二元关系的性质

 （1）自反

　　集合X中的关系R是自反的，只要对X中的每个x，有xRx，则<x, x>属于R。 写法：X中的R是自反的

 （2）对称

　　集合X中的关系R是对称的，只要对X中的每个x和y，每当xRy时总有yRx。 写法： X中的R是对称的

　　例：实数集合中的“<=”不是对称的，但“=”关系是对称的。

　　例：全体人的集合中，师生关系不是对称的，但同学关系是对称的。

　　例：平面上三角形集合中的相似关系是自反的和对称的。

 （3）传递

　　集合X中的关系R是传递的，只要对X中的每个x, y和z，一旦xRy且yRz，则有xRz。 写法：X中的R是传递的

　　例：若a<b<c，则a<c，表明”<“关系是传递的

 （4）非自反

　　集合X中的关系R是非自反的，只要对X中的每个x，有<x, x>不属于R。

 （5）反对称

　　集合X中的关系R是反对称的，只要对X中的每个x和y，一旦xRy且yRx，则有x=y。 写法： X中的R是反对称的

例：对集合{1,2,…,10}，关系S1={<1,1>, <2,2>, …, <10,10>}既是对称关系也是反对称关系，关系S2 ={<1,1>, <2,2>, …, <10,10>, <1,2> ,<1,3>, …, <1,10>}是反对称关系，但不是对称关系。

关系可以用图形表示 设R为集合X={x, y, z}中的一种关系，X中的元素用结点表示，并用相应的元素名称标志。如果xRy，则用带箭头的弧线连接结点x和y。

 （6）等价关系

　　如果集合X中的关系R是自反的、对称的和传递的，则称它是一个等价关系。

　　例：实数集合中的数值相等

　　例：三角形集合中的三角形相似

　　例：一个班内同学之间的同班关系

等价关系  (可以用图形方法分析研究等价划分)

　　由于等价关系是自反的、对称的、传递的，因此由这些性质的图形特点可知：

　　(1)一个集合X上的等价关系R的关系图，其每个结点必有环；

　　(2)若两个结点间有边相连，则必有方向彼此相反的两条有向边；

　　(3)若图中任何两个结点是可达的，则必有边直接相连。

 （7）兼容关系

　　如果X中的关系R是自反的而且是对称的，则称R是一个兼容关系。 所有的等价关系是兼容关系； 兼容关系不一定是传递的。

（8）偏序关系

　 　集合P上的二元关系R称为P上的一个偏序关系，当且仅当R是自反的、反对称的和传递的。

　　 偏序关系通常用“<=”表示，但注意“<=”不一定是实数中的“小于或等于”，表示的是更普遍意义上的偏序关系。

　　 实数上的“≤”关系是一种偏序关系

　　　　①任一实数a≤a，是自反关系

　　　　②当a≤b且b≤a时，有a=b，是反对称关系

　　　　③当a≤b且b≤c时，有a≤c，是传递关系

二元关系的复合

关系图表示复合：