一、基本概念
在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……
任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。n=2时，只要作一次比较即可排好序。n=3时只要作3次比较即可，…。而当n较大时，问题就不那么容易处理了。要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略
分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。这自然导致递归过程的产生。分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：
1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。
第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；
第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、
第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。
四、可使用分治法求解的一些经典问题
五、分治法的基本步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。
它的一般的算法设计模式如下：
Divide-and-Conquer(P)
1. if |P|≤n0
2. then return(ADHOC(P))
3. 将P分解为较小的子问题 P1 ,P2 ,…,Pk
4. for i←1 to k
5. do yi ← Divide-and-Conquer(Pi) △ 递归解决Pi
6. T ← MERGE(y1,y2,…,yk) △ 合并子问题
7. return(T)
其中|P|表示问题P的规模；n0为一阈值，表示当问题P的规模不超过n0时，问题已容易直接解出，不必再继续分解。ADHOC(P)是该分治法中的基本子算法，用于直接解小规模的问题P。因此，当P的规模不超过n0时直接用算法ADHOC(P)求解。算法MERGE(y1,y2,…,yk)是该分治法中的合并子算法，用于将P的子问题P1 ,P2 ,…,Pk的相应的解y1,y2,…,yk合并为P的解。
六、分治法的复杂性分析
一个分治法将规模为n的问题分成k个规模为n／m的子问题去解。设分解阀值n0=1，且adhoc解规模为1的问题耗费1个单位时间。再设将原问题分解为k个子问题以及用merge将k个子问题的解合并为原问题的解需用f(n)个单位时间。用T(n)表示该分治法解规模为|P|=n的问题所需的计算时间，则有：
T（n）= k T(n/m)+f(n)
通过迭代法求得方程的解
七、依据分治法设计程序时的思维过程
八、算法举例
（1）二分查找
二分查找也是典型的分治算法的有应用。二分查找需要一个默认的前提，那就是查找的数列是有序的。
二分查找的思路比较简单：
1） 选择一个标志i将集合分为二个子集合
2） 判断标志L(i)是否能与要查找的值des相等，相等则直接返回
3） 否则判断L(i)与des的大小
4） 基于判断的结果决定下步是向左查找还是向右查找
5） 递归记性上面的步骤
（2）输油管道问题
解题思路
本题目可以分为两个步骤：
1、找出主管道的位置；
2、根据主管道的位置，计算各个油井到主管道的长度之和。
根据题意，设主管道贯穿东西，与y 轴平行。而各个子油井则分布在主输油管道的上下两侧。如下图：
由上图，其实只需要确定主管道的y 坐标，而与各个子油井的x 坐标无关！
根据猜测，易知：主管道的y 坐标就是所有子油井y 坐标的中位数。（可以用平面几何知识证明，略）
求中位数的方法可以用排序后取a[(left+right)/2]，当然更推荐用书上的线性时间选择算法解决。记求得的主管道为Ym，
最后要输出的结果只需要计算,每个油井与中位数的差值之和。
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
void swap(int &a,int &b)
{
int tmp = a;
a = b;
b = tmp;
}
//(此处的划分就体现了分治的思想)本函数求arr[p:q]的一个划分i，使arr[p:i-1]都小于arr[i]，arr[i+1,q]都大于arr[i]
int partition(int *arr,int p,int q) {
int index = p-1,
start = p,
base = arr[q];
for(;start<q;start++) {
if(arr[start]<=base) {
swap(arr[start],arr[++index]);
}
}
swap(arr[++index],arr[q]);
return index;
}
//快速排序
void qsort (int *arr,int p ,int q) {
if (p<=q) {
int pos = partition(arr,p,q);
qsort(arr,p,pos-1);
qsort(arr,pos+1,q);
}
}
int arr[1000];
int main() {
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF){
for(int i=0;i<n;i++){
scanf("%d %d",&arr[i],&arr[i]);
}
qsort(arr,0,n-1);
long sum = 0;
int mid = arr[n/2];
for(int i=0;i<n;i++){
sum+=abs(mid - arr[i]);
}
printf("%I64d\n",sum);
}
return 0;
}
说明：类似的还有邮局选址问题：与之类似，这次是要找出在居民点中邮局的最佳位置。很容易想到，这次不仅要确定y的坐标，还要确定x的坐标。当然均为其对应坐标的中位数；最终的计算结果，要求距离之和，即向量模的计算方法加和即可。
（3）集合的划分
F（n,m）表示把n个元素的集合分为m个子集，有多少种分法？
n个元素的集合可以划为F（n,m）个不同的由m个非空子集组成的集合。
考虑3个元素的集合，可划分为：
① 1个子集的集合：{ {1，2，3} }
② 2个子集的集合：{{1，2} ，{3}} ， {{1，3}，{2}} ， {{2，3}，{1}}
③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
所以 F（3，1）=1
F（3，2）=3
F（3，3）=1
如果要求F（4，2）该怎么办呢？
A.往①里添加一个元素 {4} ，得到{{1，2，3}，{4}}
B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
{{1，2，4}，{3}} ， {{1，2}，{3，4}}
{{1，3，4}，{2}} ， {{1，3}，{2，4}}
{{2，3，4}，{1}} ， {{2，3}，{1，4}}
所以F（4，2） = F（3，1）+2*F（3，2） = 7
以此推广得，F（n，m） = F （n-1，m-1）+ m * F（n-1，m）
#include <stdio.h> long long divide( int n,int m) { if (m==1 || m ==n){ return 1; }else{ return divide(n-1,m-1)+m*divide(n-1,m); } } int main(){ int n,m; while (scanf("%d%d",&n,&m) != EOF){ printf("%I64d\n",divide(n,m)); } return 0; }
（4）求复杂度为O（lg n）的X的 n 次幂
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" int power(int x, int n) { int result; if(n == 1) return x; if( n % 2 == 0) result = power(x, n/2) * power(x, n / 2); else result = power(x, (n+1) / 2) * power(x, (n-1) / 2); return result; } int main() { int x = 5; int n = 3; printf("power(%d,%d) = %d \n",x, n, power(x, n)); }
（5）二路归并排序
描述：
时间复杂度是O(NlogN)，空间复制度为O(N)（归并排序的最大缺陷）
归并排序（Merge Sort）完全遵循上述分治法三个步骤：
1、分解：将要排序的n个元素的序列分解成两个具有n/2个元素的子序列；
2、解决：使用归并排序分别递归地排序两个子序列；
3、合并：合并两个已排序的子序列，产生原问题的解。
数组代码实现：
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "assert.h" #include "string.h" void print_arr(int *arr, int len) { int i = 0; for(i = 0; i < len; i ++) printf("%d ",arr[i]); printf("\n"); } void merge(int *arr, int low, int mid, int hight, int *tmp) { assert(arr && low >= 0 && low <= mid && mid <= hight); int i = low; int j = mid + 1; int index = 0; while(i <= mid && j <= hight) { if(arr[i] <= arr[j]) tmp[index++] = arr[i++]; else tmp[index++] = arr[j++]; } while(i <= mid) //拷贝剩下的左半部分 tmp[index++] = arr[i++]; while(j <= hight) //拷贝剩下的右半部分 tmp[index++] = arr[j++]; memcpy((void *)(arr + low), (void *)tmp, (hight - low + 1) * sizeof(int)); } void mergesort(int *arr, int low, int hight, int *tmp) { assert(arr && low >= 0); int mid; if(low < hight) { mid = (hight + low) >> 1; mergesort(arr, low, mid,tmp); mergesort(arr, mid + 1, hight,tmp); merge(arr, low, mid, hight,tmp); } } //只分配一次内存，避免内存操作开销 void mergesort_drive(int *arr, int len) { int *tmp = (int *)malloc(len * sizeof(int)); if(!tmp) { printf("out of memory\n"); exit(0); } mergesort(arr, 0, len - 1, tmp); free(tmp); } int main() { int data[10]={8,7,2,6,9,10,3,4,5,1}; int len = sizeof(data)/sizeof(data[0]); mergesort_drive(data, len); print_arr(data,len); return 0; }
（6）整数划分问题
/* 整数划分问题 ：将一个整数划分为若干个数相加 例子： 整数4 最大加数 4 4=4 1+3=4 1+1+2=4 2+2=4 1+1+1+1=4 一共五种划分方案 注意：1+3=4，3+1=4被认为是同一种划分方案 */ #include<stdio.h> int q(int n,int m)//n表示需要划分的数字，m表示最大的加数不超过m { if(m==1||n==1)//只要存在一个为1，那么划分的方法数肯定只有一种，那就是n个1相加 { return 1; }else if(n==m&&n>1)//二者相等且大于1的时候，问题等价于：q(n,n-1)+1;意味着将最大加数减一之后n的划分数，然后加一，最后面那个一代表的是：0+n，这个划分的方案 { return q(n,n-1)+1; }else if(n<m)//如果m>n,那么令m=n就ok，因为最大加数在逻辑上不可能超过n { return q(n,n); }else if(n>m) { return q(n,m-1)+q(n-m,m);//分为两种：划分方案没有m的情况+划分方案有m的情况 } return 0; } int main() { printf("请输入需要划分的数字和最大家数：\n"); int n,m; scanf("%d %d",&n,&m); int r=q(n,m); printf("%d\n",r); return 0; }
给你一个数，问你所有的划分方式，比如4，4=1+3，4=1+1+2，4=2+2，4=1+1+1+1
我们来分析一下，我们想用分治的话，就要找子问题，假设n是要划分的数，m说最大的加数，n=4，m=3
分解成两类的子问题，一个是：一个是有m的情况，一个是没有m的情况，然后将有m的情况继续划分，分
解成有m-1和没有m-1的情况，一直划分下去，直到m=1。比如n=4，m=3，划分成的子问题：有3，无
3，有2，无2，有1，无1（没有意义，除非0+4=4），将这些子问题合并起来大问题就解决了。
九、总结
分治算法的一个核心在于子问题的规模大小是否接近，如果接近则算法效率较高。
分治算法和动态规划都是解决子问题，然后对解进行合并；但是分治算法是寻找远小于原问题的子问题（因为对于计算机来说计算小数据的问题还是很快的），同时分治算法的效率并不一定好，而动态规划的效率取决于子问题的个数的多少，子问题的个数远小于子问题的总数的情况下（也就是重复子问题多），算法才会很高效。
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