离散微积分学习笔记
后向差分
对于函数 \(f(x)\) 定义等距节点 \(x_k = x_0 + k \Delta x\)。
有：
\[\Delta f(x_k) = f(x_{k}) - f(x_{k-1})
\]
下文简称差分。
高阶差分
一般来说，\(k\) 阶差分的定义如下：
\[\Delta^k a_n = \Delta (\Delta ^{k-1} a_n)
\]
易得 \(k\) 阶差分公式：
\[\Delta^k a_n = \sum_{i=0}^{k} C_i^{k} (-1)^{k-i}a_{n+i}
\]
差分公式
四则运算的公式和微分一致，可惜的是并不存在所谓的复合函数差分公式。
求和
我们称：
\[\sum f(n) \Delta n
\]
为 \(f\) 的不定求和。
求和公式
\[\sum a_n \Delta f(n) = a_n +C
\]
这里 \(C\) 是一个差分为 \(0\) 的函数。
差分表
\[\Delta C = 0
\]
\[\Delta n = 1
\]
\[\Delta n^k = \sum_{i=0}^{k-1} C_{i}^{k} n^i
\]
\[\Delta \ln n = \ln (1 + \frac{1}{n})
\]
\[\Delta a^n = (a-1)a^{n-1}
\]
不定求和表
这里我们探讨一个有意思的问题：
求 \(\sum k^n\)
事实上，因为：
\[\Delta k^n = (k-1)k^{n-1}
\]
所以：
\[k^n = (k-1) \sum k^{n-1} + C
\]
自然：
\[\sum k^n = \frac{k^{n+1}}{k-1} + C
\]
分部积分（阿贝尔恒等式）
\(\sum_{i=1}^{n} a_{i}b_{i} = b_n \sum_{i=1}^{n} a_{i} + \sum_{i=1}^{n-1} \Delta {b_{i+1}} \sum_{i=1}^{n} a_i\)
下降幂
\(\Delta C_{n}^{k} = k \times C_{n}^{k-1}\)
组合数拆解原数列
\(a_{n} = \sum_{k=0} \Delta^{k}a_{0} \times C_{n}^{k+1}\)
