如何理解数学归纳法

数学归纳法

在数学归纳法的证明中，比较难理解的是，为什么我们通过未知真假的假设来证明结论是真理呢？客观先别着急，数学归纳法的证明我们可以用多米诺骨牌来类比。

一、数学归纳法的问题分解与多米诺骨牌的类比

1、目的证明一个等式$S_n=f(n)$成立

类比于：证明多米诺骨牌效应————第一个倒下，第n个一定也会倒下

2、证明第一个元素$n=1$在等式中成立

类比于：证明有一个骨牌在一系列骨牌中会倒下

3、假设任意元素$n=k$在等式s$S_n=f(n)$中成立；然后证明这个假设可以推出元素$n=k+1$在等式$S_n=f(n)$中也成立

类比于：假设任意一个多米诺骨牌，在一系列骨牌中会倒下；然后证明这个倒下的多米诺骨牌可以使得下一个多米诺骨牌也会倒下

4、综上可证明第$n$个元素在等式s$S_n=f(n)$中成立

类比于：综上可证明第$n$个多米诺骨牌在第一个元素倒下之后也会倒下

类比分析

证明多米诺骨牌效应，我们可以很容易地理解，但是相对于数学归纳法来说就比较抽象，但是我们可以用具象的东西来帮助我们理解抽象的数学归纳法

多米诺骨牌效应的证明

• 首先需要证明有一个多米诺骨牌在这个多米诺骨牌的系统中，且这个多米诺骨牌会倒下
• 其次我们需要假设任意一个多米诺骨牌（n=k,k为任意自然数）在这个多米诺骨牌的系统（k带入函数中）中会倒下（等式成立），并且在它倒下（等式成立）之后，它的下一个多米诺骨牌（n=k+1）在这个多米诺骨牌的系统（k+1带入函数中）也会倒下（等式成立）。这就是证明了任意两个连续的多米诺骨牌，前一个倒下后，下一个也会倒下的逻辑顺序关系。
• 综合上面我们就可以证明第一个多米诺骨牌倒下后（n=1在等式中成立），第n个多米诺骨牌也会倒下了（第n个元素在等式中也成立）

二、第一归纳法

第一数学归纳法用于证明$a_n=f(a_{n-1})$
1.首先证明结论对起点成立
2.其次假设n=k成立(或n=k-1)
3.最后证明n=k+1成立（或n=k）

$$n=1\text{①}\\ \text{假设}n-1\text{成立②}\\ \text{推出}n\text{成立③}$$

三、第二归纳法

第二数学归纳法是第一数学归纳法的拓展，它可以上升到下一个多米诺骨牌的倒下与前面若干个多米诺骨牌有关系，而不仅仅是一一前后对应的关系。

总结

在数学归纳法的证明中，比较难理解的是，为什么我们通过未知真假的假设可以证明真理呢？通过上面的一一类比后，我们可以理解到，数学归纳法的核心是：任取两个在逻辑推理上有前后关系的元素$n-1$与$n$，通过先假设前一个元素$n-1$在结论$S_{n-1}=f(n-1)$中成立，然后再来证明后一个元素$n$能够由前一个元素$n-1$推到出来$S_{n-1}=h{n-1}$，并且后一个元素$n-1$也能够使结论$S_n=f(n)$成立。以上推论只是假设，还不是真理，但是却证明了他们之间纯真逻辑先后关系。众所周知，真能够推出真，若想知道一个结论是不是真的，那么就如要寻找一个真理与你要证明的结论有逻辑真的传递关系。而我们寻找的这个绝对真理就是，数学归纳法真理证明的点睛之笔即证明第一个元素在结论中成立。