大数乘法的几种算法分析及比较（2014腾讯南京笔试题）
1.题目
编写两个任意位数的大数相乘的程序，给出计算结果。
2.题目分析
该题相继被ACM、华为、腾讯等选作笔试、面试题，笔者2014年替师兄去腾讯笔试就遇到此题，当然若无准备要写出这种程序，还是要花一定的时间的。故，觉得有必要深入研究一下。搜索了网上的大多数该类程序和算法，发现，大数乘法主要有模拟手工计算的普通大数乘法，分治算法和FFT算法。其中普通大数乘法占据了90%以上，其优点是空间复杂度低，实现简单，时间复杂度为O（N²），分治算法虽然时间复杂度降低为,
但其实现需要配 合字符串模拟加减法操作，实现较为复杂，
参考博客1http://cnn237111.blog.51cto.com/2359144/1201901
FFT算法则更为复杂，较少适用，有兴趣
参考博客2 http://blog.csdn.net/hondely/article/details/6938497
和博客3http://blog.csdn.net/jackyguo1992/article/details/12613287。
普通大数乘法算法，主要有逐位相乘处理进位法、移位进位法，下面对其进行介绍并优化。
3.题目解答
3.1 逐位相乘处理进位法
参考博客4的思路
乘积是逐位相乘，也就是aibj，结果加入到积C的第i+j位，最后处理进位即可，例如：A =17 = 1*10 + 7 = （7,1）最后是十进制的幂表示法，幂次是从低位到高位，以下同。B=25 = 2*10 + 5 = (5, 2);C
原博客的思路为：
（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；
（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；
（3）处理进位，消除多余的0；
（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。
原博客中采用指针参数传递，字符串长度有限制，改为通过string传参数，按原思路编程如下：
头文件和数据结构：
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
using namespace std;
struct bigcheng
{
vector<int> a;
vector<int> b;
string result_str;
};
void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng);//字符串转换为数字并反转
void multiply(bigcheng &tempchengh,vector<int> &result_num);//逐位相乘,处理进位消除多余的0
void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num);//将计算结果转换为字符串并反转
（1）转换并反转，字符串转换为数字并将字序反转；
void chartonum(string a,string b,bigcheng &tempcheng)
{
int size_a=a.size();
int size_b=b.size();
for (int i=size_a-1;i>=0;i--)
{
tempcheng.a.push_back(a[i]-'0');
}
for (int i=size_b-1;i>=0;i--)
{
tempcheng.b.push_back(b[i]-'0');
}
}
（2）逐位相乘，结果存放在result_num[i+j]中；
（3）处理进位，消除多余的0；代码为：
void multiply(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)
{
for (unsigned int i=0;i<tempcheng.a.size();i++)
{
for (unsigned int j=0;j<tempcheng.b.size();j++)
{
result_num[i+j]+=(tempcheng.a[i])*(tempcheng.b[j]);
}
}
for (int i=result_num.size()-1;i>=0;i--)
{
if (result_num[i]!=0)
{
break;
}
else
result_num.pop_back();
}
int c=0;
for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)//处理进位
{
result_num[i]+=c;
c=result_num[i]/10;
result_num[i]=result_num[i]%10;
}
if (c!=0)
{
result_num.push_back(c);
}
}
（4）转换并反转，将计算结果转换为字符串并反转。
void numtochar(bigcheng &tempcheng,vector<int> &result_num)
{ int size=result_num.size();
for (unsigned int i=0;i<result_num.size();i++)
{
tempcheng.result_str.push_back(char(result_num[size-1-i]+'0'));
}
}
主函数为：
int main()
{
bigcheng tempcheng;
string a,b;
cin>>a>>b;
chartonum(a,b,tempcheng);
vector<int> resultnum(a.size()+b.size(),0);
multiply(tempcheng,resultnum);
numtochar(tempcheng,resultnum);
cout<<tempcheng.result_str<<endl;
system("pause");
return 0;
}
上面的思路还是很清晰的，但代码有些过长，考虑优化如下：
（1）上述思路是先转换反转，其实无需先将全部字符串转换为数字的，可即用即转，节约空间；
（2）无需等到逐位相乘都结束，才处理进位，可即乘即进；
（3）无需等到所有结果出来后，将结果转换为字符，可即乘即转。
优化后时间复杂度不变，但节省了空间，代码更简洁。如下：
头文件和数据结构：
#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
using namespace std;
struct bigcheng2
{
string a;
string b;
string result_str;
};
void reverse_data( string &data)；//字符串反转
void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2);//字符串模拟相乘
字符串反转：
void reverse_data( string &data)
{
char temp = '0';
int start=0;
int end=data.size()-1;
assert( data.size()&& start <= end );
while ( start < end )
{
temp = data[start];
data[start++] = data[end];
data[end--] = temp;
}
}
两数相乘：
void multiply2(bigcheng2 &tempcheng2)
{
reverse_data(tempcheng2.a);//字符串反转
reverse_data(tempcheng2.b);
int c=0;
string temp(tempcheng2.a.size()+tempcheng2.b.size(),'0');//将temp全部初始化为0字符
for (unsigned int i=0;i<tempcheng2.a.size();i++)
{
unsigned int j;
for (j=0;j<tempcheng2.b.size();j++)
{
c+=temp[i+j]-'0'+(tempcheng2.a[i]-'0')*(tempcheng2.b[j]-'0');//注意temp[i+j]可能保存有上一次计算的结果
temp[i+j]=(c%10)+'0';//将结果转换为字符
c=c/10;
}
while(c)
{
temp[i+j++]+=c%10;//temp里已存字符
c=c/10;
}
}
for (int i=temp.size()-1;i>=0;i--)
{
if (temp[i]!='0')
break;
else
temp.pop_back();
}
reverse_data(temp);//结果?字Á?符¤?串ä?反¤¡ä转Áa
tempcheng2.result_str=temp;
}
主函数：
int main()
{
bigcheng2 tempcheng2;
string a,b;
cin>>a>>b;
tempcheng2.a=a;
tempcheng2.b=b;
multiply2(tempcheng2);
cout<<tempcheng2.result_str<<endl;
system("pause");
return 0;
}
3.2 移位进位法
移位进位法也是普通的大数相乘算法，其时间复杂度也为O（N²）其基本思路参考博客5，简述如下：
按照乘法的计算过程来模拟计算：
1 2
× 3 6
---------- ---- 其中，上标数字为进位数值。
71 2 --- 在这个计算过程中，2×6=12。本位保留2，进位为1.这里是一个简单的计算过程，如果在高位也需要进位的情况下，如何处理？
3 6
-----------
413 2
其代码优化如下：#include <iostream>
#include <string>
#include <vector>
#include <stdlib.h>
#include <assert.h>
using namespace std;
void reverse_data( string &data);//字符串反转
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result );
void reverse_data( string &data)
{
char temp = '0';
int start=0;
int end=data.size()-1;
assert( data.size()&& start <= end );
while ( start < end )
{
temp = data[start];
data[start++] = data[end];
data[end--] = temp;
}
}
void compute_value( string lhs,string rhs,string &result )
{
reverse_data(lhs);
reverse_data(rhs);
int i = 0, j = 0, res_i = 0;
int tmp_i = 0;
int carry = 0;
for ( i = 0; i!=lhs.size(); ++i, ++tmp_i )
{
res_i = tmp_i; //在每次计算时，结果存储的位需要增加
for ( j = 0; j!= rhs.size(); ++j )
{
carry += ( result[res_i] - '0' )+(lhs[i] - '0') * (rhs[j] - '0');//此处注意，每次计算并不能保证以前计算结果的进位都消除， 并且以前的计算结果也需考虑。
result[res_i++] = ( carry % 10 + '0' );
carry /= 10;
}
while (carry)//乘数的一次计算完成，可能存在有的进位没有处理
{
result[res_i++] = (carry % 10 + '0');
carry /= 10;
}
}
for (int i=result.size()-1;i>=0;i--)
{
if (result[i]!='0')
break;
else
result.pop_back();
}
reverse_data(result);
}
int main()
{
string a,b;
cin>>a>>b;
string result(a.size()+b.size(),'0');
compute_value(a,b,result);
cout<<result<<endl;
system("pause");
return 0;
}
3.3运行结果
运行结果如图1、图2所示
图1
图2
欢迎各位交流批评指正^_^····
